23. Представление вещественных чисел
Все вещественные числа в компьютерах представляются в полулогарифмическом формате, или, так называемом формате чисел с плавающей запятой (точкой), и всегда со знаком.
N = Sp·q
где: S – основание системы счисления – всегда целое число;
p – порядок основания, или, как обычно говорят, просто порядок
числа: порядок то же всегда представляется целым числом;
q – мантисса, которая всегда представлена дробным числом.
В современных компьютерах основание системы счисления представляемых чисел всегда равно 2 и поэтому для них N = 2p·q.
Мантисса числа в мэйнфреймах, типа IBM 360/370 и ЕС ЭВМ, должны удовлетворять требованию: 1 > q ≥ 0,5, т.е. должна быть в пределах: 0,111…1 ≥ 0,100…0.
Мантисса числа q для наиболее распространенных современных персональных компьютеров корпорации Intel принята несколько другой. Она должна удовлетворять требованию: 2 > q ≥ 1, то есть должна быть в пределах 1,111…1≥ q ≥1,000…0.
Таким образом, в полулогарифмическом виде представление числа -110,0101 в персональных компьютерах будет: -2+2·1,100101, а числа +0,011101 будет: +2-2·1,1101.
Представленное в таком виде число называется нормализированным и в этом виде должно храниться в памяти. Если в результате проведения арифметической операции представление результата выходит за рамки нормализированного представления, результат автоматически нормализируется при передаче в память.
З
аметим,
что поскольку первый разряд значения
мантиссы всегда должен быть равен 1, то
он фактически
в оперативной памяти не фиксируется,
но всегда подразумевается.
На этом экономится объем памяти,
необходимый для хранения данных.
Поскольку порядок числа есть целое число со знаком, то старший разряд порядка должен содержать знак порядка. В начальный период развития компьютерной техники так и было. Однако операции с порядками, которые имеют место почти всегда при обработке вещественных чисел, затрудняются тем, что порядок представляется числом со знаком. Поэтому в современных компьютерах используются исключительно так называемые смещенные порядки. Для получения смещенного порядка к исходному значению порядка прибавляется некоторое смещение А. Это смещение А, представляет собой положительное число, равное максимальному абсолютному значению исходного порядка, как числа со знаком. В результате полученное значение смещенного порядка будет всегда иметь положительное значение и операции с порядками существенно упрощаются. В качестве смещения - А, для восьмиразрядного значения порядка (при формате КВ), можно брать либо число 10000000 либо число 01111111. При этом все положительные порядки в смещенном виде будут иметь в старшем разряде 1, а все отрицательные – 0.
В случае смещения А = 10000000, при нулевом значении исходного порядка, смещенный порядок будет равен: А + 0 = 10000000. Поэтому говорят, что имеет место смещенный порядок с положительным нулем.
В случае смещения А = 01111111, при нулевом значении исходного порядка, смещенный порядок будет равен: А + 0 = 01111111. Поэтому говорят, что в этом случае имеет место смещенный порядок с отрицательным нулем.
Отметим, что в большинстве персональных компьютеров обычно используется смещенный порядок с отрицательным нулем. И, например, число: -110,0101В, в полулогарифмическом виде (в форме представления чисел с плавающей запятой) имеющее вид: -2+2·1,100101, в формате короткого вещественного (КВ) со смещенным порядком с отрицательным нулем, в ячейке памяти разместиться так, как показано на рис.
Отметим, при этом, очень важное обстоятельство: мантиссы как положительных, так и отрицательных чисел в памяти, в отличие от целых чисел, всегда представляются в прямых кодах! И, поскольку, при операциях с мантиссами их рассматривают как целые числа со знаком, то при осуществлении арифметических операций над ними, мантиссы отрицательных чисел, вызываемые из памяти в блок обработки, обязательно должны преобразовываться и представляться в дополнительном коде.