33

1. Механические колебания: гармаонические, затухающие.

Свободными колебаниями называют такие, торые совершаются без внешних воздействий за счет первона­чально полученной телом энергии.Характерными моделями та­ких механических колебаний являются пружинный маятник математический маятник.

Гармонические колебания: х = Acos (ω₀t+ф₀), где w₀t + ф₀ = ф — фаза колебаний, ф₀ — начальная фаза (при t = 0), ω₀ — круговая частота колебаний, А — их амплитуда.

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются началь­ными условиями движения, т. е. положением и скоростью мате­риальной точки в момент t = 0.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), со­вершает гармонические колебания, если не учитывать силы со­противления.

Затухающие колебания.В реальном случае на колеблющее­ся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движе­ния изменяется, и колебание становится затухающим:

x= A0e^-βtcos(ωt+φ0), где β — коэффициент затухания;ω₀ — круговая частота соб­ственных колебаний системы (без затухания).

2. Энергия гармонических колебаний

Кинетическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону, можно вычислить используя выражение:

Е_к =1/2mv²_msin²(ω₀t +φ₀)= 1/2

mA²ω²osin²(_ωot+ф₀) =

=1/2kA²sin² (ω₀t+_Фо).

Потенциальную энергию колебательного движения найдем, исходя из общей формулы для потенциальной энергии упругой

деформации Е_п=1/2kx²:Е_П=1/2kA²cos²(ωоt+_Фо).

Складывая кинетическую и потенциальную энер­гии, получаем полную механическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону: E=E_К+E_П=1/2kA² sin²(ωоt+_Фо)+1/2кА² cos² (ωоt+_Фо)=1/2kA²[sin²(ωоу+ф₀) +cos²(ωоt+_Фо)]=1/2kA².

3. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.

Вынужденными колебаниями называются колебания, возни­кающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону. Частота вынуж­денного колебания равна частоте вынуждающей силы: х=Acos(ωоt+ф₀).

Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорци­ональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зави­симость от коэффициента затухания среды и круговых частот соб­ственного и вынужденного колебаний. Если ω₀ и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максималь­ное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для за­данных ω₀ и β— называют резонансом. Вредное действие резонанса связано главным об­разом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать воз­можное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо сис­теме с затуханием при отсутствии переменного внешнего воз­действия, называются автоколебаниями, а сами системы — автоколебательными. Классическим примером механической автоколебательной сис­темы являются часы, в которых маятник или баланс являются ко­лебательной системой, пружина или поднятая гиря — источником энергии, а анкер — регулятором поступления энергии от источни­ка в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являют­ся автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы — генераторы электромагнитных ко­лебаний.