16,17 Вопрос. Представление синусоидальных величин в виде вращающихся векторов на декартовой плоскости, в комплексной форме.

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями и представить в виде вращающихся векторов на декартовой или комплексной плоскости.

Рисунок 2.3 - Графическое изображение синусоидальных напряжений

Запишем синусоидальные напряжения с помощью тригонометрических функций: .                                (2.15)

Значения в скобках синуса называют фазами синусоид, а значения фазы в начальный момент времени - начальной фазой.

Величина ω называется угловой частотой: ,  [рад/с]                                    (2.16)

Где Т - период [c]; f - частота [Гц].

При совместном рассмотрении двух синусоидально изменяющихся величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз: . (2.17)

Если α=0, то говорят, что сигналы синфазны, если α=π, то говорят, что сигналы в противофазе. Если α=+π/2 - в квадратуре. Т.е. е₂ отстаёт от е₁ на угол α.

При изображении синусоидальных ЭДС, напряжений и токов вращающимися векторами на декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Фазовый угол отсчитывают от положительной оси абсцисс.

 

Рисунок 2.4 - Изображение синусоидальных напряжений вращающимися векторами

Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм часто удобно принимать t=0. При этом сложение и вычитание синусоидально изменяющихся величин можно заменить сложением и вычитанием их векторов: .  (2.18)

Результирующие напряжение также будет синусоидальным.

Рисунок 2.5 - Изображение суммы двух синусоидальных напряжений в виде вращающегося вектора

Определение амплитуды E_3m и начальной фазы φ_e3 можно осуществить сложением изображающих их векторов. Вычитание мгновенных значений можно заменить вычитанием изображающих векторов .                     

  Рисунок 2.6 - Изображение разности двух синусоидальных напряжений в виде вращающегося вектора

19 Вопрос. Мощности в электрических цепях синусоидального тока.

Мгновенной мощностью называют произведение мгновенного напряжения на входе цепи на мгновенный ток. Пусть мгновенные напряжение и ток определяются по формулам:       

     Тогда         

     Среднее значение мгновенной мощности за период

     Из треугольника сопротивлений  ,      а       .

     Получим еще одну формулу: .

     Среднее арифметическое значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой P.     Эта мощность измеряется в ваттах и характеризует необратимое преобразование электрической энергии в другой вид энергии, например, в тепловую, световую и механическую энергию.       Возьмем реактивный элемент (индуктивность или емкость). Активная мощность в этом элементе  , так как напряжение и ток в индуктивности или емкости различаются по фазе на 90^o. В реактивных элементах отсутствуют необратимые потери электрической энергии, не происходит нагрева элементов.     Происходит обратимый  процесс в  виде обмена электрической энергией между источником и приемником. Для качественной оценки интенсивности обмена энергией вводится понятие реактивной мощности Q.       Преобразуем выражение (6.23):

     где   - мгновенная мощность в активном сопротивлении;

        - мгновенная мощность в реактивном элементе (в индуктивности или в емкости).     Максимальное или амплитудное значение мощности p₂ называется реактивной мощностью        ,

     где x - реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное).       Реактивная мощность, измеряемая в вольтамперах реактивных, расходуется на создание магнитного поля в индуктивности или электрического поля в емкости. Энергия, накопленная в емкости или в индуктивности, периодически возвращается источнику питания.       Амплитудное значение суммарной мощности p = p₁ + p₂ называется полной мощностью.     Полная  мощность,  измеряемая в вольтамперах, равна произведению действующих значений напряжения и тока:        ,  где z - полное сопротивление цепи.     Полная мощность характеризует предельные возможности источника энергии. В электрической цепи можно использовать часть полной мощности , где     - коэффициент мощности или "косинус "фи".

  Коэффициент  мощности  является одной из важнейших характеристик электротехнических устройств. Принимают специальные меры к увеличению коэффициента мощности.        Возьмем треугольник сопротивлений и умножим его стороны на квадрат тока в цепи. Получим подобный треугольник мощностей (рис. 6.18).

     Из треугольника мощностей получим ряд формул: ,       ,

           ,       .       При анализе электрических цепей символическим методом используют выражение комплексной мощности, равное произведению комплексного напряжения на сопряженный комплекс тока.       Для цепи, имеющей индуктивный характер (R-L цепи) , где            - комплекс напряжения;    - комплекс тока;    - сопряженный комплекс тока;         - сдвиг по фазе между напряжением и током.   , ток как в R-L цепи, напряжение опережает по фазе ток.  Вещественной частью полной комплексной мощности является активная мощность.       Мнимой частью комплексной мощности - реактивная мощность.   Для цепи, имеющей емкостной характер (R-С цепи),  . Ток опережает по фазе напряжение. . Активная мощность всегда положительна. Реактивная мощность в цепи, имеющей индуктивный характер, - положительна, а в цепи с емкостным характером - отрицательна.