Предисловие

Для успешного усвоения математики и овладения ее методами необходима самостоятельная работа учащегося. Индивидуальное домашнее задание (ИДЗ), как показал опыт, активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса высшей математики.

Каждое ИДЗ содержит теоретические вопросы, и расчетную часть — задачи. Теоретические вопросы являются общими для всех студентов, задачи для каждого студента группы индивидуальные (каждая задача составлена в 30 вариантах).

Выполнение студентами заочниками ИДЗ контролируется преподавателем. Предварительно проверяется правильность решения задач, затем, при встрече, правильность понимания основного теоретического материала. Завершающим этапом является зашита ИДЗ. Студент должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы и решать задачи аналогичного типа.

Настоящий сборник опирается на опыт работы Московского энергетического института, в котором система типовых расчетов по высшей математике успешно используется, начиная с-1971/72 учебного года.

Замечание. При оформлении домашнего задания в тетради рекомендуем не использовать ручку с красной пастой.

Пределы Основные теоретические вопросы

1. Точная верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней граней числового множества.

2. Принцип о вложенных отрезках и предельной точке.

3. Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

4. Принцип Больцано-Вейерштрасса.

5. Теорема о сходимости монотонной последовательности, число е.

6. Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

7. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

8. Понятие непрерывности функции в точке.

9. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функций.

10. Свойства бесконечно малых функций.

11. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

12. О-символика, эквивалентные функции.

13. Теоремы о пределе суммы, о пределе произведения, о пределе частного, о переходе к пределу под знаком непрерывных функции.

14. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции.

15. Теоремы Вейерштрасса и Коши о функциях непрерывных на отрезке.

Замечание. При решении задач на пределы настоятельно рекомендуем применять любые методы, кроме правила Лопиталя.

ЗАДАЧА 1. Доказать, что (указать такое )

Варианты.

ЗАДАЧА 2. Вычислить пределы.

Варианты:

ЗАДАЧА 3. Вычислить предел числовой последовательности

.

Варианты:

ЗАДАЧА 4. Вычислить предел.

Варианты:

ЗАДАЧА 5. Вычислить предел числовой последовательности.

Варианты:

ЗАДАЧА 6.Вычислить предел функции.

Варианты:

ЗАДАЧА 7. Вычислить предел функции.

Варианты:

ЗАДАЧА 8. Вычислить предел функции.

Варианты:

ЗАДАЧА 9.Вычислить предел функции.

Варианты:

ЗАДАЧА 10.Вычислить пределы функций

Варианты: