2.2 Характеристика точечных оценок параметров закона распределения и их определение

Характеристика точечных оценок параметров закона распределения может быть задана двумя статистиками:

1. Оценка среднего значения выборки:

2. Оценка дисперсии выборки:

(формула 3.1)

Оценки должны удовлетворять триаде требований. Оценка математического ожидания в виде арифметического среднего является несмещенной, состоятельной и эффективной. Однако оценка дисперсии в виде формулы 3.1 является смещенной, поэтому в качестве оценки принимается в виде исправленной формулы:

В этом виде оценка является состоятельной и несмещенной.

Коэффициент асимметрии в теории вероятности – это величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины. Он является третьим центральным моментом. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Для нормального закона распределения коэффициент ассиметрии равняется нулю .

Коэффициент эксцесса в теории вероятности – это мера остроты пика распределение случайной величины, которая служит для характеристики так называемой «крутости». Если коэффициент эксцесса равен нулю, то говорят что плотность распределения имеет нормальный эксцесс; кривые более островершинные по сравнению с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом. Для нормального закона коэффициент эксцесса равен трем . Коэффициент эксцесса характеризует степень заостренности закона:

Можно сделать вывод, что данная выборка близка к нормальному закону распределения.

3. Формулировка гипотезы о законе распределения гистограммы

Одна из важнейших задач анализа вариационных рядов заключается в выявлении закономерности распределения и определении ее характера. Основной путь в выявлении закономерности распределения – построение вариационных рядов для достаточно больших совокупностей. Большое значение для выявления закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда:  выбор числа групп и размера интервала варьирующего признака.

Когда мы говорим о характере, типе закономерности распределения, то имеем в виду отражение в нем общих условий, определяющих вариацию. При этом речь всегда идет о распределениях качественно однородных явлений. Общие условия, определяющие тип закономерности распределения, познаются анализом сущности явления, тех его свойств, которые определяют вариацию изучаемого признака. Следовательно, должна быть выдвинута какая-то научная гипотеза, обосновывающая определенный тип теоретической кривой распределения.

Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов (значений признака). Теоретическое распределение может быть выражено аналитической формулой, которая связывает частоты вариационного ряда и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения. Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими кривыми распределениями.

Часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным.

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в генеральной совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению.

Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о биномиальном распределении, распределении Пуассона и т.д. Причина частого обращения к нормальному распределению в том, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. Закон нормального распределения лежит в основе многих теорем математической статистики, применяемых для оценки репрезентативности выборок, при измерении связей и т. д.

На основании оценки закона распределения в виде гистограммы, делаем предположение о виде закона распределения. Выдвигаем нулевую гипотезу – закон распределения будет являться нормальным.