3)Некоторые распределения, использующиеся в мат.Статистике. Нормальное распределение, гамма распределение, хи – квадрат распределение.

1) Нормальное распределение

~N( X – абсолютно непрер. и

Многомерное нормальное

Стандартное нормальное с плотностью соответствует n независимых нормальных величин с N(0,1).

Нормальное общего вида: Пусть - стандартного вида, тогда Y= имеет нормальное распределение общего вида.

где - вектор мат. ожиданий, R – матрица ковариации.

~ N(

если |R| , то - абсолютно непрерывный, причем:

2) Гамма распределение Г( ) – абсолютно непрер-е с плотностью

, где -гамма функция

Свойства:

Частные случаи гамма распределения:

1) ~Exp(α)

2) ~N(0,1), тогда ~Г(1/2,1/2)

Свойства Г-распределения:

1) характ-ая функция

2)Если X~ Г( ) и Y~ Г( ) X и Y независимы, то X+Y ~ Г( )

3) хи-квадрат распределение

- хи-квадрат с n степенями свободы если

5)Постановка задачи точечного оценивания параметра. Функция потерь. Риск.

Пусть ( )- статистический эксперимент, результатом которого является набор наблюдений X₁…X_n. Задача точечного оценивания заключается в том, чтобы используя результаты наблюдений, выбрать из множества параметров θ значение, наиболее подходящее в том или ином смысле.

Пусть в качестве оценки параметра θ (или функции от пар-ра g(θ)) выбрана оценка .Для определения близости оценки к истинному значению пар-ра θ вводится функция потерь W(δ, θ) удовлетворяющая следующим условиям:

• неотрицательность W(δ, θ)

• если δ=0, то потери нулевые: W(θ, θ)=0

Наиболее употребительными функциями потерь являются W (δ, θ)=( δ - θ)² - функция потерь Гаусса и W(δ, θ)= |δ - θ| - функция потерь Лапласа.

Функция потерь – величина случайная, зависящая от двух параметров.

Точность оценки измеряется функцией риска R(δ, θ)=E_θ W(δ , θ), где E_θ берется при условии , что распределение соответствует значению параметра θ , т.е. средними потерями при оценивании с помощью δ.

Риск в случае функции потерь Гаусса R(δ, θ)=E_θ т.н. средне квадратичное отклонение

Хотелось бы найти оценку , минимизирующую риск при каждом значении θ. Однако в такой постановке задача неразрешима. Действительно, если выбрать в качестве оценки параметра θ некоторое постоянное значение δ = θ₀ , θ₀ , то при θ= θ₀ данная оценка абсолютно точна, т.е. имеет нулевой риск. Ясно , что подобная оценка с точки зрения матстатистики абсолютно бесполезна, однако приведённый пример показывает , что , за исключением тривиальных случаев (когда параметр определяется абсолютно точно), оценки , минимизирующей риск при каждом не существует.Для преодоления этой трудности можно ограничить класс рассматриваемых оценок:

• рассматривать только состоятельные оценки

рассматривать только несмещенные оценки

6)Пусть х1,…,Хn –выборка из распеределения с начальными r моментами I порядка:

Они являются функциями от неизвестных параметров .

Начальные выборочные моменты i порядка .

Тогда метод моменов состоит в приравнивании выборочных и теоретических моментов одного порядка:

, где r – выбирается сообразно тому, сколько нбх уравнений для существования и единственности решения,

обычно

Понятие правдоподобия позволяет сравнивать вероятносные шансы тех или иных исходов эксперимента при различных значениях параметра .

В рез-те эксперимента поступает более точная информация, тогда прикаждом фикс. Значении естественно сравнивать достоверности исходов через значение плотности ( или производной Радона-Никодима) относительно некоторой домин. меры.

Пусть - семейство вероятностных мер, доминирующих некоторой мерой .

(если величины имеют абс. непрер. распределение, то мера Лебега,

если дискретное – можно выбрать считающую меру на мн-ве возможных значений результата эксперимента)

- плотность распределения.

Функция правдоподобия является плотностью распределения случайного вектора :

Опр-е

Оценка - называется оценкой правдоподобия, если для каждого из выборочного пространства

Пусть Х₁,…,Х_n - выборка из одномерного семейства <<

- плотность

Выбираем , т.е.

и

функция правдоподобия

Идея метода макс. правдоподобия состоит в отыскании значения , максимизирующее правдоподобие, т.е.

В силу монотонности логарифма задача сводиться к максимизации логарифма правдоподобия.

И далее нахождения max:

\