1.6.3 Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей двух произвольных событий. Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого события при условии, что первое уже произошло:

(1.6.3.1)

Теорема умножения вероятностей трёх произвольных событий:

(1.6.3.2)

Следствие 1. Если событие A не зависит от B, то и событие B не зависит от A.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. То есть, если события A и B независимы, то

(1.6.3.3)

Случайные события называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не изменяется с наступлением любой комбинации остальных событий. Для случайных событий , независимых в совокупности, справедлива следующая теорема умножения вероятностей (необходимое условие независимости в совокупности n случайных событий):

(1.6.3.4)

Замечание – Попарная независимость случайных событий не означает их независимость в совокупности.

Пример 19

Вероятность появления в поезде вагонов на контейнерную площадку – 0,1, на грузовой двор – 0,3, на промышленное предприятие – 0,4. Определить вероятность появления в поезде вагонов на все три направления.

Решение. Обозначим событие А = {в поезде появятся вагоны на все три направления}.

А = , где ={появление в поезде вагона на контейнерную площадку}, = {появление в поезде вагона на грузовой двор}, = {появление в поезде вагона на промышленное предприятие}. Поскольку события , и независимы (вагоны появляются в поезде независимо друг от друга ),

.

Пример 20

На пути движения локомотива три светофора. Каждый из них либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение локомотива с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что локомотив сделает три остановки?

Решение. Обозначим событие А = {локомотив сделает три остановки}.

А= , где = {локомотив сделает остановку на первом светофоре}, = {локомотив сделает остановку на втором светофоре}, = {локомотив сделает остановку на третьем светофоре}. Поскольку события , и независимы (остановки локомотива на светофорах не зависят друг от друга),

.

Пример 21

Вероятность прибытия поезда на станцию без опоздания равна 0,95. Найти вероятность того, что четыре последовательно прибывших на станцию поезда опоздали.

Решение. Обозначим событие А = {четыре прибывших на станцию поезда опоздали}.

А= , где = {опоздает поезд, прибывший первым}, = {опоздает поезд, прибывший вторым}, = {опоздает поезд, прибывший третьим}, = {опоздает поезд, прибывший четвёртым}. Поскольку события , , и независимы (поезда опаздывают независимо друг от друга),

1.7 Формулы полной вероятности и Байеса

1.7.1 Формула полной вероятности

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность некоторого случайного события А, которое может произойти только с одной из гипотез . Тогда вероятность указанного события можно вычислить по формуле

, (1.7.1.1)

т.е. как сумму произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события А при условии н мула Байеса для переопределения вероятностей гипотез, сопутствующих (предшествующих) некоторому случайному событию А, о котором стало известно, что оно произошло.

Пусть некоторое случайное событие А может произойти только с одной из гипотез . Причем известны априорные (доопытные) вероятности этих гипотез , . Пусть известно, что событие A произошло. Требуется найти апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез , , т. е. пересчитать вероятности гипотез, сопутствующих (предшествующих) случайному событию А при наличии дополнительной информации о нем. В данном случае для вычисления апостериорных вероятностей гипотез используется формула Байеса:

, (1.7.1.2)

где – апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы при условии, что событие A произошло; – априорная (доопытная) вероятность гипотезы , ; – условная вероятность события A при условии справедливости гипотезы ; P(A) > 0 – безусловная вероятность случайного события A, определяемая по формуле полной вероятности (1.7.1.1).

Пример 22

Из депо прописки вагон, нуждающийся в ремонте, направлен в одно из трёх ремонтных депо. Производительности этих депо соотносятся как 6:5:4. Вероятности бездефектного ремонта вагонов для первого, второго и третьего депо соответственно равны 0,9, 0,95 и 0,85.

а) Найти вероятность того, что направленый на ремонт из депо прописки вагон будет отремонтирован без дефектов.

б) Известно, что направленный на ремонт из депо прописки вагон был отремонтирован без дефектов. Найти вероятность того, что он подвергался ремонту во втором депо.

Решение. Относительно условий рассматриваемого случайного эксперимента, состоящего в направлении неисправного вагона в одно из ремонтных депо, можно выдвинуть три несовместные гипотезы:

= {вагон ремонтировался в первом депо};

= {вагон ремонтировался во втором депо};

= {вагон ремонтировался в третьем депо}.

Причём .

Согласно условию .

Учитывая свойство вероятностей гипотез

, определим:

Условные вероятности события А = {вагон отремонтирован без дефектов} при осуществлении этих гипотез известны:

.

a) Для определения вероятности события А воспользуемся формулой полной вероятности

б) Для определения вероятности того, что вагон подвергался ремонту во втором депо, при условии, что он был отремонтирован без дефектов, воспользуемся формулой Байеса

Ответ: а) вероятность того, что направленный на ремонт из депо прописки вагон будет отремонтирован без дефектов, равна 0,903;

б) вероятность того, что вагон подвергался ремонту во втором депо, при условии, что он был отремонтирован без дефектов, равна 0,351.

Пример 23

На сортировочную станцию прибывают полувагоны, платформы и крытые вагоны с вероятностями соответственно 0,25, 0,3, 0,45. Вероятность неисправности полувагона равна 0,02, платформы – 0,015, крытого вагона – 0,01.

а) Найти вероятность того, что поступивший на осмотр в парк приёма вагон окажется неисправным.

б) Поступивший на осмотр в парк приёма вагон оказался неисправным. Найти вероятность того, что этот вагон является платформой.

Решение. Относительно условий рассматриваемого случайного эксперимента, состоящего в направлении вагонов на осмотр в парк приёма, можно выдвинуть три несовместные гипотезы:

= {поступивший в парк вагон является полувагоном};

= {поступивший в парк вагон является платформой};

= {поступивший в парк вагон является крытым вагоном}.

Причём .

Согласно условию .

Условные вероятности события А = {поступивший вагон окажется неисправным} при осуществлении этих гипотез известны:

a) Для определения вероятности события А воспользуемся формулой полной вероятности

б) Для определения вероятности того, что поступивший на осмотр вагон является платформой, при условии, что он был неисправным, воспользуемся формулой Байеса

Ответ: а) вероятность того, что поступивший на осмотр в парк приёма вагон окажется неисправным, равна 0,014;

б) вероятность того, что поступивший на осмотр в парк приёма вагон оказался неисправным, при условии, что этот вагон является платформой, равна 0,3214.