1.4.3 Геометрический метод вычисления вероятностей

Если пространство элементарных событий  вероятностного эксперимента Е является несчетным, то для вычисления вероятностей случайных событий может применяться геометрический метод.

Пусть пространство  эксперимента E содержит несчетное множество элементарных исходов  (т. е. ) и их можно трактовать как точки в евклидовом пространстве, а события эксперимента E – как некоторые ограниченные области этого пространства. Тогда вероятность случайного события A может быть определена выражением

, (1.4.3.1)

где – геометрическая мера (длина, площадь, объём) области, соответствующая событию A; – геометрическая мера области, соответствующая пространству элементарных событий .

Пример 16

Простой состава в ожидании осмотра бригадой пункта технического осмотра (ПТО) в парке прибытия сортировочной станции равно возможен в интервале [0; 50 мин]. Простой в ожидании расформирования состава также равновозможен в интервале [0; 40 мин].

Найти вероятность того, что нерегламентированный простой состава в парке прибытия не привысит 20 минут.

Решение. Пространством элементарных событий этого эксперимента является прямоугольник, изображённый на рисунке 5, т. е.

.

Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация

вероятностного эксперимента

Событию ={простой состава не превысит 20 минут} соответствует заштрихованная на рисунке область.

Следовательно,

.

Пример 17

Два теплохода должны подойти к одному причалу. Моменты прихода обоих теплоходов независимы и равновозможны в течение суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать на рейде, пока не освободится причал, если время стоянки теплоходов равно одному часу.

Решение. Пространством элементарных событий этого эксперимента является прямоугольник, изображённый на рисунке 3, т. е.

.

Рисунок 3 – Геометрическая интерпретация

вероятностного эксперимента

Событию ={одному из теплоходов придётся ожидать на рейде} соответствует заштрихованная на рисунке область. Следовательно,

.

1.4.4 Статистический и экспертный методы вычисления

вероятностей

Кроме классического и геометрического существуют еще два способа определения вероятностей случайных событий: статистический и экспертный. Статистический способ заключается в оценке вероятности случайного события по результатам многократного воспроизведения вероятностного эксперимента E, например, по относительной частоте появления случайного события.

Метод экспертных оценок заключается в опросе мнения некоторого количества экспертов о значении вероятности случайного события. Анализируя полученные значения экспертных оценок, можно получить представление о реальном значении вероятности исследуемого случайного события.

Статистический и экспертный способы оценки вероятностей являются универсальными, однако, предоставляемый с их помощью результат не является точным. Для увеличения достоверности и точности оценки вероятности требуется проведение большего количества повторных экспериментов и привлечение большего числа опытных экспертов.