1.3 Вероятности случайных событий
1.3.1 Относительная частота случайных событий
Пусть было проведено n вероятностных экспериментов Е, при этом случайное событие А произошло m раз.
Число
m
называется частотой
появления случайного события А,
а отношение
– относительной
частотой (частостью)
случайного события А.
Относительная частота наступления некоторого случайного события не является постоянной величиной, однако она обладает устойчивостью, стремлением к некоторому постоянному числу и колебания её тем меньше, чем больше проведено экспериментов.
1.3.2 Понятие вероятности случайного события. Аксиомы
Колмогорова
Вероятностью случайного события А называется числовая функция Р(А), определённая на пространстве элементарных событий , характеризующая меру объективной возможности наступления события А и удовлетворяющая для каждого случайного события аксиомам Колмогорова А. Н.
Аксиома
1.
,
т. е. вероятность наступления произвольного
случайного события – неотрицательная
функция.
Аксиома
2.
,
т. е. вероятность наступления достоверного
события равна 1.
Аксиома
3.
,
,
,
т. е. вероятность наступления суммы
счётного множества попарно несовместных
событий
,
равна сумме вероятностей этих событий.
1.4 Методы вычисления вероятностей
1.4.1 Классический метод вычисления вероятностей
Пусть
пространство элементарных событий
некоторого вероятностного эксперимента
Е
конечно
и все элементарные события равновозможны,
т. е.
.
По
классическому
(лапласовскому) методу
вероятность случайного события
А равна
отношению числа элементарных событий
,
благоприятных событию А,
к общему количеству элементарных событий
N
пространства элементарных событий
,
т. е.
.
Учитывая, что А и – множества (элементарных событий), можно записать:
,
(1.4.1.1)
где
– количество элементарных событий,
благоприятных событию А;
– общее количество элементарных событий
пространства элементарных событий
.
Классический метод вычисления вероятностей имеет следующие ограничения:
а)
все элементарные события вероятностного
эксперимента Е
должны быть равновозможными, т. е.
,
;
б)
множество
элементарных событий пространства
должно быть конечным, чтобы отношение
не являлось неопределённостью
.
Пример 5
Е: бросается игральная кость.
Найдём вероятности случайных событий из примера 1.
;
;
;
;
;
;
.
Пример 6
Е: разгрузка вагонов на сортировочной станции.
На сортировочную станцию прибывают вагоны из Минска, Гомеля и Бреста. Предполагая равновозможными все варианты очерёдности разгрузки этих трёх вагонов, найти вероятности следующих случайных событий:
А = {вагон из Гомеля будет разгружен первым};
B = {вагон из Бреста будет разгружен не ранее, чем вагон из Минска}.
Решение.
Пространство элементарных событий
в данном эксперименте состоит из шести
элементарных событий
.
Введём условные обозначения элементарных
событий по первым буквам названий
городов
= {ГМБ,
ГБМ, МГБ, МБГ, БГМ, БМГ}, где, например,
элементарное событие МГБ соответствует
такой последовательности разгрузки:
из Минска – из Гомеля – из Бреста. Тогда
А = {ГМБ,
ГБМ},
,
B = {ГМБ,
МГБ, МБГ},
.