2.5.2 Характеристики рассеяния

Дисперсией случайной величины называется число , характеризующее меру рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания и равное математическому ожиданию квадрата отклонения значений случайной величины от :

. (2.5.2.1)

Дисперсия дискретной случайной величины определяется по формуле (2.5.2.2), а непрерывной – по формуле (2.5.2.3):

, (2.5.2.2)

. (2.5.2.3)

Дисперсия произвольной случайной величины обладает следующими свойствами.

Свойство 1. , т. е. дисперсия произвольной случайной величины – неотрицательна.

Свойство 2. , где const. То есть дисперсия неслучайной величины равна нулю.

Свойство 3. , где const, – произвольная случайная величина.

Свойство 4. , где и – произвольные случайные величины, – корреляционный момент случайных величин и .

Свойство 5. , где и – независимые случайные величины.

Свойство 6. , где const, – произвольная случайная величина.

Свойство 7. , где и – независимые случайные величины.

Свойство 8. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Так, если случайная величина имеет размерность “час”, то дисперсия данной величины – “час^2”.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется число , равное положительному значению квадратного корня из дисперсии, т. е. . Таким образом, среднее квадратическое отклонение имеет размерность, равную размерности случайной величины . Среднее квадратическое отклонение , как и дисперсия, характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ; чем больше разброс, тем больше и (рисунок 16).

Коэффициентом вариации случайной величины называется число , определяемое выражением , характеризующее, насколько хорошо математическое ожидание представляет ряд возможных значений случайной величины .

Рисунок 16 – Иллюстрация значений средних квадратических

отклонений и дисперсии различных случайных величин

2.5.3 Моменты случайных величин; характеристики

асимметрии и эксцесса

Моментом случайной величины k-го порядка называется число , где а – произвольное число. Если , то момент случайной величины называется начальным , если , то момент случайной величины называется центральным моментом k-го порядка .

Очевидно, что ; ; ; ;

; .

При этом центральные и начальные моменты связаны между собой следующими соотношениями:

; ; ; ; . Рассмотрим несколько важных особенностей центральных моментов старших порядков.

Коэффициентом асимметрии (скошенности) распределения случайной величины  называется число, вычисляемое по формуле

. (2.5.3.1)

Если распределение вероятностей случайной величины скошено влево, то (рисунок 17, а); если вправо, то (рисунок 17, б), если же распределение вероятностей случайной величины симметрично относительно математического ожидания , то .

а) б)

Рисунок 17 – Иллюстрация значений коэффициента асимметрии

различных случайных величин

Коэффициентом эксцесса случайной величины называется число , характеризующее островершинность распределения случайной величины по сравнению с нормальным распределением и определяемое по формуле

. (2.5.3.2)

У случайной величины , имеющей нормальный закон распределения коэффициент эксцесса равен нулю, т. е. . У случайных величин с более островершинным распределением , а у величин с менее островершинным – (рисунок 18).

Рисунок 18 – Иллюстрация значений коэффициента эксцесса

различных случайных величин