Вопросы и шпоры к экзамену / Шпаргалки на 2 семестр

Список экзаменационных вопросов по 2-й части сопротивления

материалов для групп 2АС, 2ДВС.

А. Основные.

1. Определение нормальных напряжений при косом изгибе.

2. Определение положения нулевой линии при косом изгибе. Определение перемещений при косом изгибе.

3. Внецентренное действие продольной силы. Формула нормальных напряжений.

4. Нулевая линия при внецентренном действии продольной силы.

5. Ядро сечения и его построение.

6. Деформации и перемещения упругих систем. Действитель-ная и возможная работа внешних и внутренних сил.

7. Доказательство теоремы о взаимности возможных работ.

8. Вывод формулы о взаимности перемещений.

9. Напряжённое состояние в точке. Определение главных напряжений и главных площадок в общем случае нагружения.

10. Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок для двухосного напряжённого состояния (построение круга Мора).

11. Обобщённый закон Гука.

12. Потенциальная энергия деформации для трёхосного напряжённого состояния.

13. Гипотезы прочности. Энергетическая гипотеза прочности.

14. Гипотезы прочности. Гипотеза максимальных касательных напряжений.

15. Гипотезы прочности. Гипотеза Мора.

16. Расчёт на прочность стержней прямоугольного поперечного сечения при одновременном действии изгибающих и крутящих моментов, продольной и поперечной сил.

17. Вывод формулы Мора для определения перемещений. Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина.

18. Основы расчёта статически неопределимых систем методом сил. Канонические уравнения.

19. Расчёт симметричных рамных систем по методу сил (статически неопределимые системы). Разложение нагрузки на симметричную и кососимметричную составляющие.

20. Расчёт многопролётных балок ( статически неопределимая система).

21. Устойчивость центрально-сжатых стержней. Вывод формулы Эйлера для стержня с шарнирно-опёртыми концами.

22. Гибкость стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Предельная гибкость.

23. Продольный изгиб за пределом упругости. Построение графика критических напряжений.

24. Продольно-поперечный изгиб. Точное и приближенное решение. Вывод формулы для приближенного определения изгибов.

25. Краевое напряжение при продольно-поперечном изгибе.

26. Вывод формулы динамического коэффициента при горизонтальном ударе.

27. Вывод формулы динамического коэффициента при вертикальном ударе.

28. Расчёты на прочность при циклически изменяющихся напряжениях. Виды циклов. Предел выносливости (усталости).

29. Влияние различных факторов на усталостную прочность.

30. Диаграмма предельных амплитуд. Определение коэффициента запаса при несимметричных циклах.

1. Определение нормальных напряжений при косом изгибе.

Косым изгибом называется такое состояние бруса, при котором в поперечном сечении силовая плоскость не совпадает с главной плоскостью бруса.

Основная идея определения напряжения состоит в разложении заданной по условию нагрузки на направления главных центральных осей опасного сечения (U, V) :

P_v = Pcosα ; P_u = Psinα .

Каждая из компонент нагрузки действует вдоль главных осей и поэтому вызывает прямой изгиб балки. Значит для каждой нагрузки можно рассчитать изгибающий момент в опасном сечении M_u , M_v , а затем найти σ_z : M_u = P_vl = Plcosα , M_v = Plsinα .

Изгибающий момент положителен, если он вызывает растяжение волокон в первой координатной четверти (в осях U, V) опасного сечения.

Если действует только момент вокруг оси U, то σ_z^(Mu) = (M_u / J_u )*V ;

σ_z^(Mv) = (M_v / J_v )*U ;

Применяя принцип суперпозиции получим окончательное выражение для σ при косом изгибе:

σ_z^(u,v) = (M_u / J_u )*V + (M_v / J_v)*U , где изгибающие моменты подставляются с учётом знаков.

2. Определение положения нулевой линии при косом изгибе. Определение перемещений при косом изгибе.

Уравнение НЛ получим, приравняв к нулю выражение для σ_z(U,V), т.е.

(Mu/Ju)*V + (Mv/Jv)*U = 0 ; V = - (Mv/Mu)*(Ju/Jv)*U ; V = - tgα*(Ju/Jv)*U

tgβ = - tgα*(Ju/Jv).

Вычисление перемещений:

Vc₁ = (Pv*L³)/(3EJк); Uc₁ = (Pu*L³)/(3EJv);

∆C₁ = √(Uc₁² + Vc₁²);

Направление полного перемещения:

tgγ = Vc/Uc = [(PL³cosα)/(3EJu)]/[(PL³sinα)/(3EJv)] = (Jv/Ju)*ctgα ;

Но в уравнении НЛ : tgβ = - tgα Ju/Jv , => вектор полного перемещения при косом изгибе направлен по перпендикуляру к НЛ.

3. Внецентренное действие продольной силы. Формула σ.

Перенесём Р в ЦТ поперечного сечения, присоединив два изгибающих момента, тогда N = P; Mu = P*Vp; Mv = P*Up.

Нормальные напряжения в этом случае можно найти в результате суперпозиции решений для центрального растяжения и двух прямых изгибов, относительно U,V: σ_z(u,v) = N/F + (Mu/Ju)*V + (Mv/Jv)*U, где Mu и Mv берутся с учётом знака, т.е. положительные, если вызывают растяжение волокон I координатной четверти.

U и V – координаты той точки на поперечном сечении, для которой вычисляется σ.

Если действуют несколько осевых нагрузок, то внутренние силы вычисляются по формулам с учётом знака: N = ∑P_i ; Mu = ∑P_i*Vp_i ;

Mv = ∑P_i*Up_i.

4. Нулевая линия при внецентренном действии продольной силы.

Для определения положения НЛ приравняем выражение σ_z(u,v) к 0:

P/F + (P*Vp/Ju)*V + (P*Up/Jv)*U = 0 | *F/P

1 + (Vp*F/Ju)*V + (Up*F/Jv)*U = 0

i_u = √(Ju/F); i_v = √(Jv/F), тогда уравнение НЛ:

1 + (Vp/i_u²)*V + (Up/i_v²)*U = 0

Из уравнения видно, что НЛ, в отличие от косого изгиба, не проходит через ЦТ поперечного сечения балки. В таком случае НЛ удобно строить по отрезкам, кот она отсекает на координатных осях U,V - (a_u, a_v).

Пусть V = 0, U = a_u , => a_u = - i_v²/Up ; a_v = - i_u²/Vp ;

НЛ делит поперечное сечение на 2 зоны – растянутую и сжатую.

Приближая точку приложения силы к ЦТ можно вывести НЛ за пределы поперечного сечения (из формулы следует, что уменьшение координат Up,Vp даёт увеличение отрезков a_u,a_v по абсолютной величине). Если сила приложена в ЦТ , то НЛ -> ∞.

5. Ядро сечения и его построение.

Вокруг ЦТ поперечного сечения существует область

(ядро сечения), обладающая следующим свойством : Приложение продольной силы внутри ядра сечения или на его границе вызывает нормальные напряжения одного знака по всему поперечному сечению.

Для того, чтобы найти границу ядра сечения, нужно последовательно рассмотреть такие положения НЛ, при которых они касаются контура поперечного сечения не менее чем в 2 точках.

Найдём координаты точки, в которой должна быть приложена сила:

Up^I = - i_v² / a_u^I ; Vp^I = - i_u² / a_v^I;

Аналогично рассмотрим ещё две линии, совпадающие с границами контура сечения не меньше, чем в 2 точках.

Соединив точки 1,2,3 получим ядро сечения.

7. Доказательство теоремы о взаимности возможных работ.

δ₁₂ – перемещение в направлении 1 от силы, приложенной в

направлении 2.

δ₂₁ – перемещение в направлении 2 от силы, приложенной в

направлении 1.

Рассмотрим 2 точки и перемещения в них. Пусть вначале приложена сила F1, а затем F2. Потом, вначале приложена сила F2, а затем F1.

Приравняем деформации:

A₁ = ½*F₁*δ₁ + ½ F₂*δ₂ + F₁*δ₁₂

A₂ = ½ F₂*δ₂ + ½ F₁*δ₁ + F₂*δ₂₁

Тогда F₁δ₁₂ = F₂δ₂₁ , т.е.

Работа первой силы на перемещении, вызванном второй силой, равна работе второй силы на перемещении, вызванном первой силой.

8. Вывод формулы о взаимности перемещений.

При F1=F2 из теоремы взаимности работ следует теорема взаимности перемещений, т.е. δ_ij = δ_ji . Перемещение в направлении i от единичной силы, приложенной в направлении j, равно перемещению в направлении j от единичной силы, приложенной в направлении i.

9-1. Напряж. Состояние в точке. Определение главных напряжений и гл. площадок в общем случае нагружения.

Рассмотрим произвольную точку на произвольно нагруженном теле. Вырежем в окрестности этой точки бесконечно малый кубик и приложим на его гранях все возможные нормальные и касательные напряжения. На невидимых гранях они будут направлены в противоположную сторону.

Рассмотрим равновесие элементарного кубика:

∑M_iz=0 : - τ_xydydzdx + τ_yxdxdzdy = 0 , => τ_xy = τ_yx . Аналогично для остальных координат. Т.о. в общем случае напряж. состояния в произвольных площадках для произв. точки выполняется закон парности τ .

Напряжённое состояние в общем случае принято задавать матрицей.

Главными называются площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Если в выбранной точке вырезать элементарный кубик с главными площадками, то на них останутся только нормальные напряжения, которые называются главными.

Найдём величину главных напряжений σ_1-3 , имея в качестве исходных данных напряжения на произвольных площадках.

9-2.

Представим, что внутри исходного кубика есть наклонная грань с нормалью ν и главным напряжением σ_ν.

Пусть эта грань отсекает от исходного кубика элементарный тетраэдр. Пусть положение нормали к главной площадке в исходной системе к-нат определяется направляющими косинусами (L, m, n).

Рассмотрим равновесие элементарного тетраэдра:

dFx = dF·L : L = cos(ν^x);

dFy = dF·m : m = cos(ν^y);

dFz = dF·n : n = cos(ν^z);

∑F_ix = 0 : σ_ν·dF·L – σ_x·dF·L – τ_yx·dF·m – τ_zx·dF·n = 0

Аналогично для остальных координат, =>

(σ_x - σ_ν)L + τ_yx·m + τ_zx·n = 0;

τ_xy·L + (σ_y - σ_ν)m + τ_zy·n = 0; L² + m² + n² =1, =>

τ_xz·L + τ_yz·m + (σ_z - σ_ν)n = 0;

Определитель равен нулю, тогда σ_ν³ – Y₁σ_ν² + Y₂σ_ν – Y₃ = 0, где Y_1-3 – коэффициенты кубического уравнения – инварианты напряжённого состояния в точке.

Y₁ = σ_x + σ_y + σ_z ; Y₂ = σ_xσ_y + σ_yσ_z + σ_zσ_x – τ_xy² – τ_yz² – τ_zx² ;

Y₃ = После нахождения Y_1-3 решают кубическое уравнение и находят σ_1-3 , учитывая что индексы ставятся в соответствии с условием : σ₁≥σ₂≥σ₃

10. Графическое определение главных напряжений и положения главных площадок для двухосного напряжённого состояния (построение круга Мора).

На передней и задней грани отсутствуют τ, => эти площадки главные. Кроме этого на них отсутствуют и σ, значит одно из трёх главных напряжений равно 0 и имеется двухосное напряжённое состояние.

Возьмём прямоугольную систему координат, в которой по оси X – σ, а по оси Y – τ. Тогда каждой площадке (τ, σ) можно поставить в соответствие изображающую точку.

Пусть σ_x > σ_y , τ_xy > 0, => τ_yx < 0, т.о. правой площадке соответствует изображающая точка К₁, для верхней площадки К₂ с коэффициентами (σ_y , τ_yx).

Соединяем К₁ и К₂ – центр круга Мора.

Построим полюс P. Плавно изменяя угол α можно добиться такого состояния, когда точка пересечения окажется на оси абсцисс, => τ_α = 0 ; значит эти точки являются изображением точек главных площадок. Если min > 0, то σ_min = σ_II ; σ_III = 0.

Если min < 0, то σ_min = σ_III ; σ_II = 0.

Если из Р провести луч через верхнюю и нижнюю точки круга, то получим изображение точки для площадки с max и min τ, т.е.

; |τ_max| = τ_min = R

11. Обобщённый закон Гука.

Пусть напряжённое состояние в точке задано в главных площадках, т.е. найдены главные напряжения σ_1-3. Найдём соотношение между деформациями ε_1-3 с одной стороны и напряжениями σ_1-3 , используя принцип суперпозиции.

Пусть действует только σ₁, =>

ε₁ = σ₁/E ; Вдоль первого главного напряжения деформацию найдём из закона Гука:

ε₂ = -μ ε₁ = -μ σ₁/E ;

ε₃ = -μ ε₁ = -μ σ₁/E ;

ε₂ = σ₂/E ; ε₁ = -μ ε₂ = -μ σ₂/E ;

ε₃ = -μ ε₂ = -μ σ₂/E ;

ε₃ = σ₃/E ; ε₁ = -μ ε₃ = -μ σ₃/E ;

ε₂ = -μ ε₃ = -μ σ₃/E ;

Если теперь сложить деформации по первому, второму и третьему гл. напр., то :

ε₁ = 1/E[σ₁ – μ(σ₂ + σ₃)] ;

ε₂ = 1/E[σ₂ – μ(σ₁ + σ₃)] ;

ε₃ = 1/E[σ₃ – μ(σ₁ + σ₂)] ;

(Обобщённый закон Гука для сложного напряжённого состояния).

Если напряжённое состояние в точке задано не в главной площадке, то обобщённый закон Гука будет состоять из 6 уравнений:

ε_x = 1/E[σ_x – μ(σ_y + σ_z)] ; ε_y = 1/E[σ_y – μ(σ_x + σ_z)] ; ε_z = 1/E[σ_z – μ(σ_x + σ_y)] ;

для сдвиговой деформации: γ_xy = τ_xy /G ; γ_yz = τ_yz /G ; γ_zx = τ_zx /G .

Все эти соотношения справедливы только для упругих деформаций изотропного иатериала.

12. Потенциальная энергия деформации для трёхосного напряженного состояния.

Для трёхосного напряжённого состояния, используя принцип суперпозиции получим: U = ½σ₁·ε₁ + ½σ₂·ε₂ + ½σ₃·ε₃

Выразив деформации из обобщённого закона Гука, получим:

U = [σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2μ(σ₁ σ₂ + σ₂ σ₃ + σ₃ σ₁)]/2E ;

Любое напряжённое состояние всегда можно представить в виде следующей суммы:

σ₁ = σ₁^об + σ₁^ф ; σ₂ = σ₂^об + σ₂^ф ; σ₃ = σ₃^об + σ₃^ф ;

Тогда U = U_о + U_ф ; найдём эти слагаемые:

U_o = [σ_о² + σ_о² + σ_о² - 2μ(σ_о² + σ_о² + σ_о²)]/2E = 3(1 - 2μ) σ_о² /2Е ;

ε_v = ∆V/V₀ = ε_1ф + ε_2ф + ε_3ф = 0 (во втором напряжённом состоянии нет изменения объёма)

σ₁^ф = σ₁ - σ_о ; σ₂^ф = σ₂ - σ_о ; σ₃^ф = σ₃ - σ_о ; =>

σ₁^ф – μ(σ₂^ф + σ₃^ф) + σ₂^ф - μ(σ₁^ф + σ₃^ф) + σ₃^ф - μ(σ₁^ф + σ₂^ф) = 0 ;

После преобразования получим:

σ_о = (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 , и, подставив в формулу U₀ :

U₀ = (1 - 2μ) (σ₁ + σ₂ + σ₃)² /6E ;

U^ф = U - U₀ , тогда U^ф = (1 + μ)[( σ₁ - σ₂)² + (σ₂ - σ₃)² + (σ₃ - σ₁)²]/6E

13. Энергетическая теория прочности.

Два напряженных состояния называются равноопасными, если при одновременном увеличении всех компонент этих напряжённых состояний в n раз, разрушение (текучесть) наступает одновременно.

Т.о. можно каждому сложному напряжённому состоянию поставить в соответствие равноопасное одноосное напряжение. Нормальное напряжение в этом фиктивном равноопасном напряжении называется эквивалентным напряжением. Переход от сложного напряженного состояния к эквивалентному напряжённому состоянию выполняют с помощью гипотез прочности.

Энергетическая теория прочности.

Два напряжённых состояния равноопасны, если у них совпадают значения плотностей потенциальных энергий изменения форм. Т.о. если потенциальная энергия изменения формы достигает некоторого критического значения, материал конструкции разрушается или «течёт», согласно IV теории прочности.

Используя это выражение найдём потенциальную энергию изменения формы для фиктивного …

В частности для упрощенного плоского напряжённого состояния:

Эта гипотеза учитывает все главные напряжения и подходит для большинства материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

Недостаток этой гипотезы в том, что она плохо подходит для материалов различно работающих на растяжение/сжатие. В этих случаях применяют теорию прочности Мора.

14. Гипотеза максимальных касательных напряжений.

Два напряжённых состояния называются равноопасными, если у них совпадают значения max касательных напряжений, т.о., согласно этой теории, ответственность за разрушение лежит на τ_max, т.е. они являются критериями разрушения или появления текучести.

Недостаток – неучёт второго главного напряжения.

Упрощённое плоское состояние:

Если вал с круглым поперечным сечением нагружен изгибающим моментом M_x , M_y , а также крутящим M_z , то изгибающие моменты можно векиорно сложить между собой и относительно наклонной оси, и мы получим прямой изгиб. Кроме того действует крутящий момент, тогда в точке наиболее удалённой от оси U вырежем кубик и рассмотрим нормальные напряжения:

Найдём главные напряжения:

σ₁ = σ₂/2 + √[(σ₂/2)² + τ²] ; σ₂ = 0 ; σ₃ = σ₂/2 - √[(σ₂/2)² + τ²] , =>

σ_экв^III = σ₁ – σ₃ = √( σ_z² + 4τ²), т.е для вала с круглым попер. сечением:

Условие прочности: σ_экв^III ≤ [σ]

Этот метод нельзя применять для прямоугольного и тонкостенного замкнутого сечения.

15. Гипотеза Мора

Гипотезы, указывающие признаки равноопасности (критерии эквивалентности) различных напряжённых состояний, называются гипотезами прочности.

Гипотеза Мора применяется для материалов различно деформирующихся при растяжении и сжатии.

Конструкция будет достаточно прочной, если точки с координатами

(σ₁ , σ₃) попадут в заштрихованную область.

=> σ₁ – kσ₃ ≤ [σ]_p

Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то k=1 и мы переходим к гипотезе τ_max

16. Расчёт на прочность стержней прямоугольного поперечного сечения при действующих: N, Q_x,y , M_x,y , M_z .

Сложение двух изгибающих моментов не имеет смысла, т.к. суммарный изгибающий момент будет действовать вокруг оси, которая не является главной центральной осью, поэтому рассмотрим действие изгибающих моментов по отдельности, сначала вокруг оси Х, потом У.

Для сравнения различных сложных напряжённых состояний необходимо рассчитать в каждом случае σ_экв:

Условие прочности: σ_экв^max ≤ [σ]

17-1. Вывод интеграла Мора.

Пусть балка нагружена произвольной системой внешних сил. Пусть нужно в точке К по направлению I-I найти перемещение.

Основные допущения:

1. Материал в балке следует закону Гука;

2. Перемещения в балке малы;

Пусть под действием силы Р балка получает перемещение:

«К» - указывает точку, в которой ищем перемещение;

«Р» - указывает на причину;

Сила Р на перемещении ∆АР возрастает линейно:

А_I = 1/2P·∆_AP ; При статическом нагру

Жении вся эта работа пойдёт на накопление потенциальной энергии деформации балки.

где Mxp – функция изгибающего момента в балке от действия заданной по условию нагрузки Р.

Снимем силу Р и приложим в точке К по направлению I-I фиктивную силу Ф.

По аналогии для работы:

17-2.

(Не снимая с балки силу Ф приложим в точке А дополнительную силу Р)

Работа за II , III нагружение будет равна:

А= 1/2Р·∆А_р +1/2Ф·∆К_ф + ∆К_р·Ф

Изгибающий момент в балке к концу третьего нагружения:

М_х(р+ф) = М_хр + М_хф ;

Потенциальная энергия:

A = U ,=>

17-3. Правило Верещагина.

Определённый интеграл от произведения двух функций, из которых одна линейна, а вторая произвольна, равен произведению площади графика произвольной функции на взятую под её Ц.Т. ординату графика линейной функции.

Каждое из слагаемых, входящих в интеграл Мора, равно произведению площади ω нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату η_е линейной эпюры под Ц.Т. нелинейной, делённому на жёсткость сечения (EJx) данного участка балки.

18. Основы расчёта статически неопределимых систем методом сил. Канонические уравнения.

Метод сил заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Значения этих сил и моментов подбираются так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями.

(Заданная система)

Основная система получается из заданной путём устранения «лишних» связей.

Эквивалентная система – получается из основной путём приложения всех внешних нагрузок и неизвестных реакций связей.

Приравнивая к 0 перемещения в направлениях 1 и 2 ->

δ₁ = δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + δ_1F = 0 ; δ₂ = δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + δ_2F = 0 ,

где δ₂₁ – перемещение в направлении 2 от действия единичной силы 1.

Эти уравнения называются каноническими. Их число равно степени статической неопределимости системы.

19. Расчёт симметричных рамных конструкций по методу сил. Разложение нагрузки на симметричную и кососимметричную.

Симметричная Несимметричная

нагрузка нагрузка

У симметричной рамы в плоскости симметрии при симметричной внешней нагрузке обращаются в ноль кососимметричные силовые факторы, а при кососимметричной внешней нагрузке – симметричные силовые факторы.

Коэффициенты канонического уравнения, у которого один индекс принадлежит симметричному, а другой кососимметричному фактору обращаются в ноль, т.к. в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок и наоборот.

Эти условия сохраняют силу не только для плоских, но и для пространственных рам при любой степени статической неопределимости.

20. Расчёт многопролётных балок (статически неопределимая система).

Для многопролётной балки удобно образовывать основную систему, врезая на опорах шарниры и вводя в качестве неизвестных опорные моменты.

После построения эпюр и нахождения коэффициентов канонических уравнений мы получим систему уравнений трёхдиагональной структуры.

Диагональные матрицы или таблицы получаются для систем, имеющих однотипные, повторяющиеся элементы (пролёты балки).

4X₁ + X₂ + 0 + … = -M (1)

X₁ + 4X₂ + X₃ + … = 0

0 + X₂ + 4X₃ + X₄ + … = 0

0 + 0 + X₃ + 4X₄ + X₅ + … = 0

Пусть X_i = A_a1ⁱ + B_a2ⁱ , подставив в (1) -> A + B = M

Перепишем последнее уравнение системы в виде:

X_n-2 + 4X_n-1 + X_n – X_n = 0 , => A_a1ⁿ + B_a2ⁿ = 0, тогда

21-1. Устойчивость сжатых стержней. Вывод формулы Эйлера для стержня с шарнирно опёртыми концами.

Устойчивость – способность сжатого стержня сохранять прямолинейную форму после снятия малоотклоняющих нагрузок.

Найдём минимальное возможное значение сжимающей силы P = P_крит., при котором возможно существование отклонённой формы равновесия.

Будем считать, что прогибы V(z) малы, а материал стержня следует закону Гука.

Функция прогиба V(z) определяется в следующей системе координат: начало в Ц.Т. поперечного сечения, ось z – по оси бруса, ось Х – ось минимальной жёсткости (вокруг неё изгиб).

Предположим, что изогнутая ось лежит в области положительных прогибов: V^II = M_x(z)/EJ_x ; M_x(z) = -P·V(z); V^II + (P/EJ_x)V = 0;

V^II + α²V = 0 , где α² = P/EJ_x .

Решение уравнения будет иметь вид: V(z) = c_1·sin α·z + c₂cos α·z ;

Составим два граничных условия для определения неизвестных:

Z = 0 , V(0) = 0 ,=> c₂ = 0

V(z) = c₁sin α·z ; z = L ; V(L) = 0 ,=> c₁sin α·L = 0

Если предположить, что С₁ = 0 , то мы получим функцию V(z) тождественно равную 0 для любых Z и α. Это соответствует прямолинейной форме равновесий, => C₁ ≠ 0 (т.к. мы изучаем отклонённую форму).

Тогда: sin αL = 0 ; αL = πn , n = 1,2 … ; α = πn/L , значит α² = π²n²/L² .

Приравнивая правые части выражений α² -> ,

Тогда минимально возможная сила при которой существует отклонённая форма равновесия: n = 1, P_n = π²EJ_min / L² (Формула Эйлера).

Когда сила Р ≥ Р_крит стержень переходит в новое отклонённое состояние, которое бывает устойчиво. Если Р < Р_крит , то устойчивой будет прямолинейная форма равновесия.

Переход к отклонённой форме равновесия ещё не означает разрушение конструкции.

21-2.

Для случаев закрепления стержня, отличных от рассмотренного, получим аналогичную формулу: P_пр = π²EJ_min / (μL)² , где L_пр = μL (приведённая длина), μ – коэффициент приведения длины;

Т.о. для вычисления Р_пр надо стержень с заданным закреплением концов «привести» к стержню с шарнирным закреплением, но другой длины.

μ приблизительно можно найти как величину обратно пропорциональную количеству полупериодов синусоиды, которую можно приложить на изогнутой оси стержня с заданным креплением концов.

22. Гибкость стержня. Пределы применимости формулы Эйлера. Предельная гибкость.

Обозначим λ² = (μL/i_min)² – гибкость, т.о. это отклонение приведённой длины μL к min радиусу поперечного сечения стержня.

λ = μL/i_min ; σ_пр = π²E/λ² .

При уменьшении λ напряжения обычно растут и достигают предела пропорциональности.

Если напряжения > σ_пр , то материал уже не подчиняется закону Гука и применять формулу Эйлера нельзя.

Чтобы найти λ_0, при котором ещё применима формула Эйлера:

Если λ > λ₀ , то стержень большой гибкости и для него имеет место упругий продольный изгиб, т.е. после снятия Р = Р_пр стержень вернётся в исходное прямолинейное состояние.

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня и не зависит от его размеров (λ₀ – const).

Формула Эйлера применима лишь тогда, когда λ ≥ λ₀ .

23. Продольный изгиб за пределом упругости. Построение графика критических напряжений.

При λ < λ₀ в материалах появляются пластические деформации и зависимость критических напряжений от гибкости не подчиняется гиперболе Эйлера.

Любая стойка теряет несущую способность при достижении σ_тс . По мере увеличения гибкости ограничивающая по направлению кривая является нисходящей и сливается с гиперболой Эйлера.

Если стержень очень короткий, то имеет место простое сжатие без потери устойчивости (λ < 50).

Если 50 ≤ λ ≤ 100, то имеет место неупругий продольный изгиб и σ_пр приближенно можно найти по формуле Ясинского:

σ_пр = a – bλ , где a и b – const. [кг/см²]

Для Стали 3 : а = 3100 ; b = 11,4.

24. Продольно-поперечный изгиб. Точное и приближённое решение.

Продольно-поперечный изгиб – вид нагружения прямого стержня продольной силой и системой поперечных сил.

Составим дифференциальное уравнение упругой линии:

EJ_y^II = -P_y + M_п , где M_п – момент поперечных сил,

P_y – момент продольной силы;

Тогда: y^II + k²y = M_п/EJ

Решив это дифференциальное уравнение найдём:

- точная формула;

Выведем приближённую формулу для M_max:

EJ_y^II = M_п – P_y (дифференциальное уравнение упругой линии);

При отсутствии продольной силы: EJ_yп^II = M_п , тогда

EJ_y^II = EJ_yп^II – P_y , => y = f·sin(πz/L); y_п = f_п·sin(πz/L)

Тогда: EJ·f·π²/L² = EJ·f_п·π²/L² +P·f ,=> f = f_п / (1 – P/P_пр) ;

Предполагая изгибающие моменты пропорциональные прогибам, ->

M = M_п / (1 – P/P_пр)

25. Краевое напряжение при продольно-поперечном изгибе.

Расчёт напряжений в наиболее удалённых от нейтральной оси волокнах проводится по сжатым волокнам (краевые напряжения).

|σ_z^max| = Mx/Wx + N/F ;

26, 27. Вывод K_д для горизонтального и вертикального удара.

h – высота с которой движется груз;

G – масса груза;

δ_дsinα – на эту величину груз ещё сместится вниз;

δ_G – деформация от веса (статическая);

Энергия поднятого груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации. Составим баланс энергий:

G(h + δ_дsinα) = ½F_д·δ_д = ½K_дG·K_д ·δ_G = ½ K_д²·G·δ_G ;

K_д² - 2 K_дsinα – 2h/ δ_G = 0, тогда

Вертикальный удар: α = 90⁰; Горизонтальный удар: α = 0 ;

Из условия равновесия потенциальных энергий до и после удара: mgh = (m₁ + m₂)gh₁ , =>

h₁ = mh/(m + m₁) , тогда:

28. Расчёты на прочность при циклически изменяющихся напряжениях. Виды циклов.

Совокупность всех возможных напряжений фиксированной точки вала за один период нагружения называется циклом.

σ_m = (σ_max + σ_min)/2 – среднее напряжение цикла;

σ_a = (σ_max - σ_min)/2 – амплитудное напряжение цикла;

Коэффициент асимметрии цикла: r = σ_min/σ_max.

Различают: симметричный, асимметричный, пульсационный цикл.

При циклически изменяющихся напряжениях разрушение конструкции наступает при напряжениях значительно меньших предела прочности и текучести.

Т.о. под усталостью понимается процесс постепенного накопления повреждений в материале под действием переменных во времени напряжений, которые приводят к зарождению и росту трещин вплоть до разрушения конструкции.

Для экспериментального изучения усталостных свойств материалов проводят испытания образцов на различных уровнях max напряжения цикла. Обычно испытывают симметричным циклом в условиях изгиба, растяжения, сжатия и кручения. По результатам испытаний строят зависимость max напряжений цикла от числа циклов до разрушения.

Пределом выносливости называется max напряжение цикла, которое в состоянии выдержать образец при циклическом испытании неограниченным числом циклов.

Для расчёта на прочность в условиях переменных напряжений вводят понятие коэффициента запаса по пределу выносливости:

n_σ = σ_-1 / σ_a (при симметричном цикле)

29. Факторы, влияющие на усталостную прочность.

1. Концентрация напряжения:

Если деталь содержит концентр. напр., то предел выносливости её будет заметно ниже: K_σ = σ_-1 / σ_-1K > 1 (эффективный к-нт концентрации)

Величина K_σ зависит от геометрии детали, вида нагружения и материала.

Хрупкие материалы более чувствительны к концентрации напряжения.

K_σ можно приблизительно рассчитать:

α_Т = σ_max / σ_номин. , где σ_max – max значение нормального напряжения в зоне концентрации при статическом нагружении.

σ_номин – нормальное напряжение концентрации в зоне нагружения, рассчитанное по формулам сопромата.

q: 0,6-0,8 – углеродистые стали;0,2 – низкоуглеродистые; 0,9 – титановые.

K_σ = 1 + q(α_T – 1), q = (K_σ – 1)/(α_T – 1);

2. Влияние состояния поверхности:

ε_п = σ_-1^пов-ти / σ_-1 , < 1 (может быть > 1)

Коррозия ухудшает состояние поверхности.

3. Масштабный фактор – большой диаметр (увеличение) приводит к уменьшению усталостной прочности.

ε_М = σ_-1d / σ_-1 , < 1

Т.о. суммируя все факторы можно записать выражение коэффициента запаса:

30. Диаграмма предельных амплитуд. Определение коэффициента запаса при несимметричных циклах.

tgα = ψ_σ ; Простейший способ приближения диаграммы ПА состоит в замене диаграммы одной прямой, проходящей через крайние точки:

n_σ = OM₁ / OK ; n_σ = σ_-1 / (σ_a + ψ_σ·σ_m) ;

Если необходимо рассчитать n_σ для детали при наличие концентратора с заданным состоянием поверхности и диаметром, то формула преобразуется по аналогии с симметричным циклом.

Аппроксимация двумя прямыми:

Для аппроксимации 2 прямыми нужна ещё одна точка на диаграмме ПА. Через точку А и С можно провести прямую. 2 прямая строится из точки В под углом 45 к оси абсцисс.

σ_max = σ_в ; σ_m + σ_a = σ_в .

Т.о. для всех точек на 2 прямой выполняется

σ_m + σ_a = σ_в и если точка попадает на 2 прямую, то разрушение происходит мгновенно, менее чем за 1 цикл, => можно всё пространство под прямыми разделить на 2 зоны.

Если точка в I зоне, то расчёт n_σ делают по пределу выносливости (σ_-1).

Если точка попадает во II зону, то n_σ находят из условия статического разрушения: n_σ = σ_в / σ_max = σ_в /(σ_m + σ_a).

Если τ меняются циклически, то формула для n_σ выглядит аналогично, только вместо σ – τ.

При одновременном действии σ и τ применяется эмпирическая формула Гаффа-Полларда: