17) Каноническое ур-е прямой в пространстве.Угол между прямыми.Усл-ия парал-ти и перп-ти прямых.

Пусть прямая проходит через точку M₁ (x₁, y₁, z₁) и параллельна вектору  (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой. Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

.

Векторы   и   коллинеарны.

 - каноническое уравнение прямой в пространстве.

если p1/=0 ; p2/=0 ; p3=0, то уравнение прямой в пространстве будет:

p1x−x0=p2y−y0;z−z0=0;

если p1=0; p2=0; p3/=0 , то уравнение прямой в пространстве будет:

x−x0=0;y−y0=0; 

Остальные варианты аналогично.

Угол между прямыми (в пространстве???)не доделала,если нет,тотоже самое,что вопрос №

18)  Усл-е парал-ти и перпенд-ти прямой и плоскости.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

 Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

 

19)Поверхности второго порядка.(сфера,эллипсоид,однополосный и 2-х гиперболоид,гиперб.Парабалоид,конус)

Поверхности второго порядка:

Сфера – это геометрическое место точек, равноудалённых от одной данной точки М_о на расстояние R.(эллипсоид у которого все три полуоси равны)

Возьмём на поверхности сферы произвольную точку С (x,y,z). Расстояние от точки С до точки М равно R, следовательно, .

,

то есть

или .

Полученное уравнение – это уравнение сферы с центром в точке радиуса R.

Раскроем скобки, получим

.

Итак, уравнение сферы – это уравнение второй степени относительно x,y,z. Но не всякому уравнению второй степени соответствует сфера в пространстве.

Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде

x² + y² + z² = r²,

где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы. (! Без вывода)

Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат своим уравнением x2/a2+y2/b2-z2/c2=1. Если точка с координатами (x, y, z) принадлежит однополостному гиперболоиду, то и точки (±x, ±y, ±z) при любом наборе + и - также принадлежат однополостному гиперболоиду, следовательно начало координат является центром симметрии однополостного гиперболоида, оси координат его главными осями, а координатные плоскости являются плоскостями симметрии — его главными плоскостями. Будем считать, что a≥b. Если a=b, то однополостный гиперболоид получается вращением гиперболы x2/a2-z2/c2=1 вокруг её мнимой оси (oz) и поверхность в этом случае называется однополостным гиперболоидом вращения. Вершинами однополостного гиперболоида называются точки пересечения поверхности с осями координат.

  Каноническое уравнение:

     a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением x2/a2+y2/b2-z2/c2=-1 (1). Если точка (x, y, z) принадлежит двуполостному гиперболоиду (1), то на этой поверхности лежит точка с координатами (±x, ±y, ±z) при любом наборе знаков, следовательно начало координат является центром двуполостного гиперболоида, координатные оси — осями симметрии, координатные плоскости — плоскостями симметрии. Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки пересечения поверхности с осью oz (0, 0, ±c).

 Каноническое уравнение:

     a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, заданная относительно специально выбранной прямоугольной системы координат уравнением: x2/p-y2/q=2z, p, q>0, p≥q (1). Если точка с координатами (x, y, z) лежит на гиперболическом параболоиде, то точки с координатами (±x, ±y, ±z) при любом наборе знаков также лежат на этой поверхности. Следовательно, плоскости xoy и yoz являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, а сечения, образованные данными плоскостями с поверхностью называются главными сечениями. Ось oz является осью симметрии гиперболического параболоида, если p≠q. Если p=q, то гиперболический параболоид имеет еще две оси симметрии, заданные уравнениями y=x, z=0 и y=-x, z=0. Вершиной гиперболического параболоида называется пересечение поверхности с oz. В данном случае вершиной поверхности является точка O(0, 0, 0)

  Каноническое уравнение:

     Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Конусом называется тело. которое состоит из круга - основание конуса,  точки, не лежащей в плоскости этого круга - вершины конуса,  и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.  Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называютсяобразующими конуса.

Каноническое уравнение:

     a = b - конус вращения (прямой круговой).

     Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).