14) Определение и геометрический смысл смешанного произведения 3-х векторов.

Рассмотрим произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется смешанным.

Выясним геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • пр_dс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, пр_dс = Н Для правой тройки векторов и пр_dс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипе­да. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, b и с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

(Не знаю пригодится ли: Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с ха)•b .

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb)•с=а*(bx с).

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc=-bac , abc =-cba .

4. .Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и сравно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.)

15)Общее уравнение плоскости.Нормальный вектор плоскости.

Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

 Ax + By + Cz + D = 0

где   - нормальный вектор плоскости.

 В векторном виде  .

Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz

16) Угол между плоскостями.Усл-я парал-ти и перпенд-ти плоскостей.

Уол между плоскостями. Зададим две плоскости

Мы знаем, что векторы   и   перпендикулярны соответственно данным плоскостям, поэтому угол   между   и   равен углу (двугранному) между данными плоскостями. Но скалярное произведение

,

поэтому

Достаточно считать, что  .

Отметим, что две пересекающиеся плоскости на самом деле образуют два двугранных угла   и   Их сумма равна  , а их косинусы равны по абсолютной величине, но отличаются знаками ( )

Две плоскости (14) параллельны тогда и только тогда, когда (перпендикулярные к ним) векторы  и   коллинеарны, т. е. выполняются условия пропорциональности

.                  

Если дополнительно к этому выполняются расширенные условия пропорциональности

,                                                       (18)

то это говорит о том, что плоскости (14) совпадают, т.е. оба уравнения (14) определяют одну и ту же плоскость. 

Две плоскости (14) перпендикулярны тогда и только тогда, когда , т. е.