1)Прямоугольная система координат.Расстояние между 2 точкками.Деления отрезка в данном отношении.S треугольника.

-Прямоугольная (или декартова) система координат на плоскости. Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба образуют прямоугольную (или декартову) систему координат на плоскости.

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

-Расстояние между двумя точками.

Теорема . Для любых двух точек My(x1 y1) и М2 (.x2; у2) плоскости расстояние d между ними

выражается формулой:

Доказательство. Опустим из точек М1 и М2 перпендикуляры М1В и М2А соответственно на оси

Оу и Ох и обозначим через К точку пересечения прямых М1В и М2А. Точка К имеет координаты (х2; y1). По теореме (Если М1 (х1) и М2(х2) — любые две точки и d—расстояние между ними, то

D=/x2-x1/)

lM1Kl=

Так как треугольник М^М2К прямоугольный, то, по теореме Пифагора,

ч.т.д.

-Деление отрезка в данном отношении. Пусть на плоскости дан произвольный отрезок M1M2 и пусть М — любая точка этого отрезка, отличная от точки М2. Число X, определяемое равенством

λ = называется отношением, в котором точка М делит отрезок M1M2.

Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению X и

данным координатам точек Л/, и М2 найти координаты точки М.

-Площадь треугольника. Теорема . Для любых трех точек A(x1; y1, В(х2, у2) и С(х3; Уз), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника ABC выражается формулой:

S=1/2

Доказательство. Площадь треугольника ABC, изображенного , можно найти так:Sabc=Sadec+Sdcef-Sabfd,где посл S площади трапеций.Поскольку

подставив выражения для этих площадей в равенство получим формулу,ч.т.д.

2) Полярные координаты.Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами.Преобразование координат,паралелльный сдвиг.

Полярные координаты. Рассмотрим теперь полярную систему координат. Эта система состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Кроме того, задается единица масштаба для измерения длин отрезков. Пусть задана полярная система координат и пусть М—произвольная точка плоскости. Обозначим через р расстояние точки М от точки О, а через ф — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ.

Полярными координатами точки называются числа р и ф. Число р считают первой координатой и называют полярным радиусом, число ф — второй координатой и называют полярным углом. Точка М с полярными координатами р и ф обозначается так: М(р; ф).

Обычно считают, что полярные координаты изменяются в следующих пределах:от о до +беск,а угол от о до 2п

-Связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом

будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты X и у и полярные координаты:x=pcosα,y=psinα

Формулы выражают прямоугольные координаты через полярные, а выражение полярных координат через прямоугольные следует из этих формул:p= ,tgα=y/x

-Параллельный сдвиг осей- Пусть точка М плоскости имеет координаты (х,у) в прямоугольной системе координат Оху. Перенесем начало коор-т в т.О1(а,б),где а и б-коорд-ты нового начала в старой системе координат Оху.Новые оси коор-т О*х и О*у выберем соноправленными со старыми осями Ох и Оу.Обозначим коор-ты точки М в системе О*х*у*(новые координаты) через(х*,у*).Выведем формулу ,выражающую связь между новыми и старыми к-тами т.М.Для этого проведем перпенд-ры ММх перп-но Ох,ММу перп-но Оу,О*Ох перп-но Ох,О*Оу перп-но Оу и введем обозначения Мх* и Му* для точек пересечения прямых ММх и ММу соотв-но с осями О*х и О*у ,тогда исп-я основное тождество получим:

Х=ОМх=ОО*х+О*хМх=ОО*х+О*Мх= а+х*

У=Ому=ОО*у+О*уМу=ОО*у+О*Му= б+у , итак мы получили формулы.

3)Ур-е линии на плоскости.Уравнение прямой с угловым коэффицнтом.

Определение. Уравнение A) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. Из определения следует, что линия L представляет собой множество всех тех точек плоскости (х; у), координаты которых удовлетворяют уравнению 1.(1- F(x, y) = 0,))

Линия L может определяться не только уравнением вида A), но и уравнением вида: F(p, ) = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дана некоторая прямая, не перпендикулярная оси Ох. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ох угол а, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Угол а может иметь различные значения, которые отличаются друг от друга на величину ±пn, где п — натуральное число. Как правило, в качестве угла наклона берут наименьшее неотрицательное значение угла а, на который нужно повернуть (против часовой стрелки) ось Ох, чтобы ее положительное направление совпало с одним из направлений прямой . В этом случае 0<=угол<2п.Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой к: k=tgα

y=kx+b (I)

Из формулы A), в частности, следует, что если α= 0, т. е. прямая параллельна оси Ох, то k= 0. Если

α = п/2, т. е. прямая перпендикулярна к оси Ох, то выражение k = tgα теряет смысл. В таком случае

говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность». Выведем уравнение данной прямой, если известны ее угловой коэффициент к и величина b отрезка ОВ, который она отсекает на оси Оу . Обозначим через М произвольную точку плоскости с координатами х и у. Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то образуется пря- моугольный треугольник

BNM. Точка Л/ лежит на прямой тогда и только тогда, когда величины NM и BN удовлетворяют

Условию N/M=tgα

Но NM = CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x. Отсюда, учитывая формулу A), получаем, что точка М(х; у) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

(y-b)/x=k  y=kx+b