6. Системы координат в машинной графике.

Три вида систем координат:

1. Мировая (СКМ) – начало расположено в некоторой произвольной точке, местоположение этой точки впоследствии не меняется; длина осей стремится к бесконечности.

2. Система координат наблюдателя (СКН) – подразумевается, что мы переносим локальную точку отсчета туда, где стоит наблюдатель. Эта система определяется положение наблюдателя в пространстве и направление его взгляда; может перемещаться относительно мировой системы координат

3. Система координат объекта (СКО) – в ней заданы координаты точек объекта, причем для каждого объекта имеется своя СК.

4. Экранная(двухмерная)

Для того чтобы увидеть 3D-объект на экране, надо:

по тетради:

1) задать объект в мировой с.к.

2) задать видовую систему координат

3) проецирование из видовой системы координат в экранную

версия 09:

1. Преобразовать координаты объекта (заданные в СКО) в мировые координаты

2. Преобразовать полученные координаты объекта (в СКМ) в СКН

3. Спроецировать полученные координаты на проекционную плоскость в СКН

СК могут отличаться по геометрической аксиоматике, положенной в их основе:

а) Декартова СК (прямоугольная) – чисто математическая

б) Приборная СК двухмерная система, жестко привязанная к специфике работы прибора

в) Полярная – цилиндрическая, сферическая

г) Геодезическая СК – описывает положение точки на поверхностях различных семейств сфероидов, эллипсоидов

д) Неевклидовы СК – построены на иных геометриях

7. Аффинные преобразования (перенос и масштабирование).

Аффинные преобразования – это пространственные преобразования, имеющие следующие свойства:

1. n-мерный объект после преобразования всегда остается n-мерным

2. сохраняется свойство параллельности линий и плоскостей

3. сохраняются пропорции параллельных объектов

В результате АП сохраняются отношения между частями объекта (подобие). К основным аффинным преобразованиям относятся перенос, масштабирование, отображение и вращение.

Перенос точки А в точку В:

АВ – вектор переноса. Пусть R – радиус-вектор, соответствующий вектору переноса АВ. Тогда переходу из А в В будет соответствовать векторная запись: .

Масштабирование – растяжение объекта вдоль выбранных осей координат – применяется к каждой точке объекта . Матрица масштабирования: .

8. Аффинные преобразования (вращение).

Аффинные преобразования – это пространственные преобразования, имеющие следующие свойства:

1. n-мерный объект отображается в n-мерный объект

2. сохраняется свойство параллельности линий и плоскостей

3. сохраняются пропорции параллельных объектов

В результате АП сохраняются отношения между частями объекта (подобие). К основным аффинным преобразованиям относятся перенос, масштабирование, отображение и вращение.

Вращение:

9. Однородные координаты и матричное представление 2d-преобразований.

В случае выполнения операций масштабирование-поворот в любых комбинациях можно составить результирующую матрицу, которая будет получена путем композиции (произведения) всех промежуточных матриц преобразования. Это гораздо удобнее. Однако, получить результирующую матрицу невозможно, если в цепочке присутствует хотя бы одна операция переноса. Аппарат однородных координат позволяет строить результирующую матрицу для всех трех преобразований. Двумерный вектор в однородных координатах записывается в виде , где . Число называется масштабным множителем. Для того чтобы из вектора, записанного в однородных координатах получить вектор в обычных координатах необходимо разделить первые две координаты на третью: .

Точки двумерного пространства будут описываться трехэлементными вектор-строками, поэтому и матрицы преобразований, на которые будет умножаться вектор точки, будут иметь размеры 3х3. Запишем матричное преобразование операции переноса для однородных координат:

или , где .

При последовательном переносе точки в точку и затем в точку компоненты суммарного вектора переноса являются суммами соответствующих компонент последовательных векторов переноса. Рассмотрим, каковы будут элементы матрицы суммарного переноса. Пусть , . Подставив первое уравнение во второе получаем . Матричное произведение, т.е. суммарный перенос равен произведению соответствующих матриц переноса:

Запишем матричный вид операции масштабирования: . - матрица масштабирования

Последовательные масштабирования:  

Для операции поворота: , - матрица поворота.

Последовательность поворотов:

Любая последовательность операций, включающая перенос, масштабирование и вращение, в однородных координатах может быть представлена одной матрицей, которая является произведением всех матриц данных операций.