10

Семинар 1 по дисциплине «Медицинская и биологическая физика» для специальности «Стоматология» Тема: Элементы дифференциального исчисления Основные вопросы:

1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.

2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.

3. Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.

4. Физический смысл производной. Мгновенная скорость изменения функции, ускорение и градиент функции.

5. Сопоставление графиков функций и их производных.

6. Дифференциал функции и его использование для оценки приращения функции.

7. Задания для самостоятельной работы.

1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными

Постоянные величины – величины, которые сохраняют свои значения неизменными. К фундаментальным постоянным величинам, например, относятся:

число π = 3,14…– отношение длины окружности 2πR к длине диаметра 2R

число е – число примерно равное 2,718…

гравитационная постоянная G = 6,67 · 10^-11 Н м²/кг²

Переменные величины – величины, изменяющие свои значения в процессе, который они описывают.

Рассмотрим второй закон Ньютона:

, (1)

где – сила, - ускорение, которое приобретает тело массой m под действием на него силы _. В уравнении (1) F и a – величины переменные, а m – обычно величина постоянная.

Переменные величины часто связаны друг с другом. Например, в уравнении (1) данному значению силы F соответствует определенное, причем единственное, значение ускорения а.

Возьмем другой пример: размер популяции бактерий n в каждый данный момент времени t задается формулой:

n(t) = 10⁶ + 10⁴t+ 10³t² (2)

Каждому значению t здесь соответствует единственное значение n.

Введем понятие функциональной зависимости между переменными величинами. Некоторая переменная величина у^* связана с переменной х функциональной зависимостью, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Одну из переменных, обычно х, значения которой удобно задавать (F, t в формулах (1) и (2)) называют независимой переменной или аргументом, переменную y (в формулах (1) и (2) – a и n), изменяющуюся в зависимости от изменения аргумента, называют зависимой переменной или значением некоторой функции данного аргумента.

Условились для краткости записи часть уравнения, задающего функцию, обозначать символами f(x), φ(x) и т.п.:

y = f(x), y = φ(x) (φ – греческая буква «фи»).

В наших примерах a = f(F), n = f(t).

Процессы в живом организме во многих практически значимых случаях описываются переменными величинами, связанными между собой функциональной зависимостью. Например, реакция организма r на введенное лекарство в определенной дозе x может описываться следующей функцией:

_{r = f(x) = x}² _{(a – x), (3)}

_{где а – некоторая положительная постоянная.}

_{В зависимости от ситуации r может быть температурой, частотой дыхания, частотой пульса, кровяным давлением или каким-то другим физиологическим показателем. Приведенная формула (3) представляет собой простейшую математическую модель указанного выше процесса.}