43 Системы массового обслуживания с ожиданием. Замкнутая система с ожиданием.

Система массового обслуживания с ожиданием - это такая система, которая имеет возможность ставить заявки в очередь, где эти заявки ожидают обслуживания. Разомкнутая система массового обслуживания – это система с неограниченным источником потока требований..Замкнутая система массового обслуживания – система, в которой поток требований ограничен. Замкнутые системы с ожиданием. При рассмотрении разомкнутых систем предполагалось, что источник обладает неограниченным числом требований. В настоящем параграфе рассмотрим случай, когда система предназначена для обслуживания конечного, постоянного числа требований. Будем предполагать, что как только требование обслужилось оно возвращается в источник. Схема такой системы изображена на рисунке 7.

Основное отличие разомкнутой системы от замкнутой состоит в том, что в разомкнутой системе интенсивность поступления требований - характеристика источника требований. В замкнутой системе потенциальное число требований является величиной постоянной. После обслуживания требования оно возвращается в источник. В замкнутой системе интенсивность поступления требований – характеристика конкретного объекта, поступающего в систему. Рассмотрим пример замкнутой системы. В организации имеется парк вычислительной техники в размере n штук и группа, обслуживающая вычислительную технику. В случае отказа компьютера он поступает в ремонт в указанную группу. Пусть – интенсивность отказа одной единицы техники (характеристика объекта). Данная величина характеризует интенсивность поступления на обслуживание данного объекта (только его одного). Потенциальное число заявок на обслуживание постоянное и равно n. Интенсивность входного потока требований зависит от числа исправно работающих объектов в источнике. В случае, когда все единицы вычислительной техники исправны, интенсивность потока требований равна n , после того как один компьютер откажет она станет (n - 1) и т.д. За время (t, t+dt) объект может потребовать обслуживания с вероятностью dt. За время (t, t+dt) объект, находящийся на обслуживании, может быть обслужен с вероятностью µdt. Если в некоторый момент времени число объектов, ожидающих обслуживания и обслуживаемых, равно k, то число объектов в источнике равно n - k. Вероятность поступления заявки на обслуживание хотя бы одного из данных объектов в интервале времени длительностью dt равна (n - k) dt. Таким образом, интенсивность потока требований изменяется скачкообразно всякий раз, когда компьютер выходит из строя, и возникает необходимость в его обслуживании.

44 Системы массового обслуживания с ожиданием. Процесс размножения и гибели.

Система массового обслуживания с ожиданием - это такая система, которая имеет возможность ставить заявки в очередь, где эти заявки ожидают обслуживания. Разомкнутая система массового обслуживания – это система с неограниченным источником потока требований. Замкнутая система массового обслуживания – система, в которой поток требований ограничен.

Процесс размножения и гибели. Рассмотрим систему обслуживания, в которой возможны изменения состояний: .

Если в момент времени t система находится в состоянии E_k, то вероятность перехода E_k E_k+1 в интервале длительностью dt равна _kdt. Вероятность перехода E_k E_k-1 в интервале длительностью dt равна µ_kdt. Вероятность перехода E_r E_r+k(-k), k 2 в интервале длительностью dt – бесконечно малая величина по сравнению с dt. _k и µ_k зависят только от k, где k – число требований в системе. Граф переходов для рассматриваемого случая представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 - Граф переходов замкнутой системы (процесс размножения и гибели)

Число состояний графа конечно и определяется числом элементов в источнике. Для данного графа можно записать дифференциальные уравнения состояний, которые называются уравнениями размножения и гибели:

Используя эти уравнения, можно перейти к частным случаям исследования систем, если определить все _k и µ_k.

45 Системы массового обслуживания с ожиданием. Замкнутые системы при m>n.

Замкнутые системы при n > m. Пусть – n потенциальное число требований, участвующих в процессе массового обслуживания, m – число каналов, µ – интенсивность обслуживания требования одним каналом. Будем считать, что все каналы идентичны. Интенсивность входящего потока зависит от числа поступивших требований. Если k - число поступивших требований, то _k = (n - k) .

Интенсивность обслуживания системы также зависит от числа требований и вычисляется как

Граф переходов, соответствующий этому случаю, идентичен изображенному на рис. 3.7; при этом интенсивности переходов будут иметь значения

Дифференциальные уравнения для данного графа состояний:

Для установившегося режима получим стационарное решение:

Используя обозначения ТМО

после элементарных преобразований получим:

Последовательно решаем данную систему для k=1,2,…,m,…,n; получим результат

Теперь можно выразить вероятности P_k через P₀ :

(52)

Принимая во внимание, что сумма всех вероятностей равна единице, можно записать

откуда имеем

Далее можно определить числовые характеристики системы. 1. Вероятность того, что в системе находится k требований, определяется из выражения (52). 2. Среднее число требований, ожидающих обслуживания,

. 3. Среднее число требований, находящихся в системе обслуживания,

. 4. Среднее число свободных каналов в установившемся режиме

. 5. Коэффициент простоя требований, ожидающих обслуживания,

.

6. Коэффициент простоя каналов обслуживания

Содержание