- •0. Указатель/вопросы.
- •I. Основные понятия.
- •II. Численные методы линейной алгебры.
- •III. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •IV. Интерполирование функций.
- •V. Численное дифференцирование и интегрирование функций.
- •VI. Численные методы решения задачи коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •VII. Приближение функций и смежные вопросы.
- •Основные понятия.
- •1. Понятие метрики и метрического пространства, примеры.
- •2. Сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары, полные метрические пространства.
- •3. Линейные нормированные пространства. Аксиомы нормы. Примеры определения норм в различных пространствах.
- •4. Элементы общей теории погрешностей. Основные определения, утверждения (абсолютная и относительная погрешности, погрешности основных арифметических операций).
- •5. Особенности представления чисел в эвм и компьютерной арифметики. Машинное эпсилон и алгоритм его вычисления.
- •6. Обусловленность вычислительной задачи и вычислительного алгоритма. Абсолютное и относительное число обусловленности.
- •7. Понятие оператора и неподвижной точки оператора. Принцип сжимающих отображений.
- •II. Численные методы линейной алгебры.
- •8. Нормы векторов и матриц. Относительная и абсолютная погрешность вектора. Связь погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений и невязки.
- •9. Характеристика и отличительные особенности прямых и итерационных методов численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Примеры.
- •11. Алгоритм lu разложения матрицы.
- •12. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью lu разложения матрицы системы.
- •13. Алгоритм qr разложения матрицы.
- •15. Использование lu и qr разложения матрицы системы для решения систем с одинаковой матрицей и различными правыми частями (на примере вычисления обратных матриц).
- •16. Вычисление определителя матрицы на основе ее lu или qr разложения.
- •17. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей специального вида.
- •18. Итерационный метод Якоби решения слау, оценка погрешности полученного решения. Геометрическая иллюстрация метода для двух уравнений.
- •19. Итерационный метод Зейделя решения слау, оценка погрешности полученного решения. Геометрическая иллюстрация метода для двух уравнений.
- •III. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
- •IV. Интерполирование функций.
- •32. Задача интерполяции. Обобщенный многочлен по системе функций. Глобальная и локальная интерполяции. Преимущества и недостатки. Примеры.
- •33. Интерполяция алгебраическими многочленами. Системы функций Чебышёва. Существование и единственность интерполяционного алгебраического многочлена.
- •34. Интерполяционный многочлен Лагранжа, особенности применения.
- •35. Вычислительная схема Эйткена.
- •36. Оценка погрешности интерполяции многочленом Лагранжа.
- •37. Разделенные разности, основные свойства. Интерполяционный многочлен Ньютона, особенности применения, оценка погрешности.
- •40. Определение сплайна. Гладкая кусочно-полиномиальная интерполяция. Определение интерполяционного сплайна.
- •42. Глобальные и локальные кубические интерполяционные сплайны, Определения и способы построения.
0. Указатель/вопросы.
I. Основные понятия.
Понятие метрики и метрического пространства, примеры.
Сходящиеся и фундаментальные последовательности, открытые и замкнутые шары, полные метрические пространства.
Линейные нормированные пространства. Аксиомы нормы. Примеры определения норм в различных пространствах.
Элементы общей теории погрешностей. Основные определения, утверждения (абсолютная и относительная погрешности, погрешности основных арифметических операций).
Особенности представления чисел в ЭВМ и компьютерной арифметики. Машинное эпсилон и алгоритм его вычисления.
Обусловленность вычислительной задачи и вычислительного алгоритма. Абсолютное и относительное число обусловленности.
Понятие оператора и неподвижной точки оператора. Принцип сжимающих отображений.
II. Численные методы линейной алгебры.
Нормы векторов и матриц. Относительная и абсолютная погрешность вектора. Связь погрешности решения систем линейных алгебраических уравнений и невязки.
Характеристика и отличительные особенности прямых и итерационных методов численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Примеры.
Общая схема построения итерационного процесса. Сходимость метода и скорость сходимости. Условия окончания итерационной процедуры.
Алгоритм LU разложения матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью LU разложения матрицы системы.
Алгоритм QR разложения матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью QR разложения матрицы системы.
Использование LU и QR разложения матрицы системы для решения систем с одинаковой матрицей и различными правыми частями (на примере вычисления обратных матриц).
Вычисление определителя матрицы на основе ее LU или QR разложения.
Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей специального вида.
Итерационный метод Якоби решения СЛАУ, оценка погрешности полученного решения. Геометрическая иллюстрация метода для двух уравнений.
Итерационный метод Зейделя решения СЛАУ, оценка погрешности полученного решения. Геометрическая иллюстрация метода для двух уравнений.
Проблема собственных значений. Понятия собственных значений и векторов матриц. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение. Два подхода к решению проблемы собственных значений.
Подобные матрицы. Определения. Свойства собственных значений и собственных векторов подобных матриц. Использование этих свойств в численных методах решения проблемы собственных значений.
Матрицы Фробениуса. Собственные значения и векторы матрицы Фробениуса. Метод Данилевского - прямой метод решения полной проблемы собственных значений.
Итерационный метод для нахождения собственных значений, использующий QR разложение матрицы.
III. Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
Общая схема решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Обусловленность задачи вычисления корня. Интервал неопределенности корня. Основные методы локализации (отделения) корней.
Метод бисекций решения нелинейного уравнения, условие и скорость сходимости.
Метод простых итераций решения нелинейного уравнения, условия сходимости и окончания итерационного процесса, скорость сходимости, геометрическая иллюстрация.
Приведение исходного уравнения к виду, удобному для применения метода простых итераций.
Метод итераций Ньютона решения нелинейного уравнения, условия сходимости и окончания итерационного процесса.
Модификации метода Ньютона решения нелинейного уравнения их скорость сходимости и геометрическая иллюстрация – упрощенный метод, метод ложного положения, метод секущих.
Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
Модификации метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.