Задачи Контрольная работа по теме: «Двойные интегралы»

1. Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле

2. Вычислить , где

3. Вычислить , где ограничено линиями

4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Контрольная работа по теме: «Теория поля», 4 семестр, прикладники.

Вариант 1

1. В каких точках пространства градиент поля перпендикулярен оси ?

2. Найти векторные линии поля

3. Найти массу части эллипса расположенной в первой четверти, если ее плотность

4. Найти площадь бок. поверхности цилиндра ограниченной плоскостями

5. Вычислить работу силового поля вдоль дуги

6. Найти поток вектора через верхнюю часть поверхности параболоида

7. С помощью формулы Остроградского найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности симплекса

8. С помощью формулы Грина найти циркуляцию вектора вдоль эллипса против часовой стрелки.

9. Найти если

10. Проверить потенциальность и найти потенциал поля

Вариант 2

1. Найти производную функции в точке по направлению прямой в сторону возрастания поля.

2. Убедиться в ортогональности линий уровня скалярных полей

3. Найти массу дуги конической винтовой линии от точки до точки если ее плотность .

4. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности параболоида вырезаемой из него цилиндром если плотность заряда

5. Вычислить работу силового поля вдоль дуги

6. Найти поток вектора через поверхность параболоида

вырезаемую цилиндром ориентированную в соответствии с направлением орта

7. С помощью формулы Остроградского найти поток вектора через всю поверхность куба в направлении внешней нормали.

8. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию вектора по сечению сферы плоскостью в положительном направлении относительно орта

9. Найти если .

10. Проверить соленоидальность поля

Мера и интеграл Лебега

1. Внешняя мера Лебега и ее свойства.

2. -Кольцо измеримых множеств и счетная аддитивность внешней меры на нем.

3. Классы измеримых множеств в : открытые, замкнутые, борелевские множества, множества меры нуль.

4. Измеримые функции и их свойства.

5. Сходимость функциональной последовательности почти всюду и теорема Егорова. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Лебега. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Рисса.

6. Простые функции. Приближение измеримой функции простыми функциями.

7. Интеграл Лебега и его простейшие свойства.

8. Свойства счетной аддитивности и абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множества.

9. Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема Леви о монотонной сходимости для последовательностей и рядов; теорема Фату; теорема Лебега об ограниченной сходимости.

10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

11. Пространство . Сходимость в среднем. Полнота пространства .

12. Пространство . Сходимость в средне-квадратичном. Связь с другими видами сходимости. Полнота пространства . Всюду плотные подмножества в и в .