3.1.2. Лінійна фазова модуляція (фм) та її властивості

У цьому випадку амплітуда модульованого коливання постійна, тобто , а фаза зв’язана лінійною залежністю з модулюючою напругою:

, (3.5)

де – коефіцієнт, що характеризує чутливість модулятора при ФМ, вказує на яку величину змінюється фаза при зміні модулюючої напруги, на 1 В. Для того щоб модуляція була лінійної, величина повинна бути постійною, тобто потрібно використовувати тільки лінійну ділянку модуляційної характеристики.

З врахуванням раніше прийнятих позначень

.

Позначимо . Величина визначає максимальне відхилення фази коливання при модуляції і називається індексом фазової модуляції, що залежить тільки від амплітуди модулючого коливання та властивостей модулятора.

Фаза модульованого коливання визначається:

. (3.6)

Величина – парціальний індекс фазової модуляції для складової з частотою . Отже, модульоване за фазою коливання можна подати у вигляді

. (3.7)

Скориставшись результатами теорії функцій Бесселя, знайдемо спектр цього коливання, тобто зобразимо коливання у вигляді суми гармонічних складових. Для цього запишемо модульоване коливання у комплексній формі:

(3.8)

і врахуємо відоме з теорії функцій Бесселя співвідношення [2]

, (3.9)

де – функція Бесселя k-го порядку 1-го роду; .

Тоді

. (3.10)

З огляду на те, що для цілих значень k справедливе співвідношення і беручи дійсну частину залежності (3.10), одержимо шуканий спектр. Вираз для спектра дуже громіздкий і незручний для користування. На практиці при розгляді ФМ вважають, що модуляція здійснюється гармонічним коливанням. При цій умові можна порівняно просто знайти всі співвідношення, а потім поширити їх на випадок складного модулюючого коливання. Нехай

.

Тоді вираз (3.7) можна записати у вигляді:

.(3.11)

Вираз для спектра при ФМ гармонічним коливанням такий:

(3.12)

З (3.12) випливає, що спектр ФМ навіть при модуляції одним гармонійним коливанням має нескінченну кількість дискретних складових, утворюючих верхню і нижню бічні смуги спектра. Складові нижньої і верхньої бічних, симетричні відносно несучої, мають однакові амплітуди. Фази парних складових збігаються, а непарних – протилежні.

Амплітуда несучої модульованого коливання визначається величиною , що є функцією індексу фазової модуляції . Амплітуди складових бічних смуг спектра визначаються величиною , що залежить від значення і номера гармоніки.

Ширину спектра ФМ можна вважати скінченною величиною, що залежить від обраного значення . Це зумовлено тим, що спектральні складові з високими номерами мають малу амплітуду, меншу від рівня шумів. При визначенні ширини спектра ФМ звичайно задаються деякою величиною і враховують тільки ті складові, амплітуда яких перевищує задану величину. Звичайно приймають =0,01 від амплітуди немодульованої несучої. У цьому випадку ширина спектра ФМ , де - частота модулюючого коливання; k - номер останньої врахованої складової, спричинений умовою

(3.13)

У загальному випадку визначити значення k з цієї умови не можна. Е.І.Манаєв [3] запропонував для визначення k наближений вираз:

. (3.14)

Цей вираз дає добру точність для найбільш часто застосовуваних індексів модуляції у межах

. (3.15)

Отже, ширину спектра ФМ визначаємо як

. (3.16)

Це співвідношення називають формулою Манаєва. Іноді ширину спектра ФМ визначають, виходячи з менш жорстких умов. Якщо враховувати тільки ту частину спектра, гармоніки якої перевищують 5% амплітуди немодульованої несучої, то ширина спектра ФМ

. (3.17)

Зауважимо, що неповне пропускання бічних смуг спектра ФМ (тобто обмеження спектра ФМ за частотою) приводить до появи помітної супутньої амплітудної модуляції і перекручуванню закону ФМ.

Знайдемо середню питому потужність ФМ коливання. Відповідно до , проінтегрувавши вираз (3.12), одержуємо

. (3.18)

З теорії функцій Бесселя відомо [2], що , тому

. (3.19)

Це означає, що при ФМ потужність випромінюваного коливання незмінна і дорівнює потужності несучої під час відсутності модуляції. Отже, при ФМ від передавача під час модуляції не потрібно додаткової потужності, і режим його роботи залишається незмінним. Якщо модуляція відсутня, то , і , тобто вся потужність зосереджена на несучій частоті. При модуляції з’являються бічні складові спектра, потужність яких створюється за рахунок зменшення потужності компоненти на несучій частоті, тобто модуляція приводить до перерозподілу потужності коливання між його складовими таким чином, що загальна потужність коливання залишається незмінною. Розподіл потужності між окремими складовими спектра залежить від величини . При деяких значеннях величина рівна нулю, тобто для таких значень уся потужність зосереджена в бічних складових спектра, що є носіями корисної інформації.

Отримані результати залишаються справедливими для складного модулюючого коливання. У цьому випадку при визначенні ширини спектра ФМ у формулах (3.16) і (3.17) під частотою F потрібно розуміти верхню частоту спектра модулюючого коливання.

Спектр ФМ навіть при модуляції одним гармонійним коливанням має нескінченну кількість дискретних складових, утворюючих верхню і нижню бічні смуги спектра. Складові нижньої і верхньої бічних, симетричні щодо несучої, мають однакові амплітуди. Фази парних складових збігаються, а непарних – протилежні.

Отже, по-перше, спектр ФМ при будь-якому виді модулюючого коливання складається з нескінченної кількості складових; по-друге, ширина спектра ФМ, яка враховується на практиці, скінченна й залежить від значення індексу модуляції; по-третє, при ФМ ефективність використання потужності передавача і його коефіцієнт корисної дії вищі, ніж при AM. Однак, при малих індексах модуляції ФМ може виявитися менш ефективною, ніж AM.

Лінійна частотна модуляція та її властивості

Амплітуда модульованого коливання в цьому випадку постійна (так само, як і при ФМ), а частота коливання зв’язана лінійною залежністю з модулюючим коливанням, тобто

. (3.20)

Тут – коефіцієнт, що характеризує властивості модулятора при ЧМ. Він показує, на яку величину зміниться частота при зміні модулюючої напруги на 1 В.

З огляду на раніше прийняті позначення частота, модульованого коливання визначається

, (3.21)

де – максимальне відхилення частоти при модуляції і називається девіацією частоти, – парціальна девіація частоти за рахунок модулюючої складової коливання з частотою .

Цей вираз визначає значення миттєвої частоти при модуляції коливанням складної форми.

Неважко показати, що при використанні лінійної ділянки модуляційної характеристики , тобто максимальна девіація частоти дорівнює сумі парціальних девіацій частот усіх складових модулюючого коливання.

Запишемо вираз для коливання, модульованого за частотою. Врахуємо, що фаза і частота зв’язані співвідношенням:

, (3.22)

де .

Як видно з виразу (3.22), коливання u(t) є функцією інтеграла від модулюючого коливання , тому ЧМ називають інтегральним видом модуляції. Коливання при AM і ФМ були функціями модулюючої напруги , тому іноді їх називають прямими видами модуляції.

Провівши інтегрування вираження (3.21) і визначаючи повну фазу коливання, вираз ЧМ при складній формі модулюючої напруги можна записати у вигляді

, (3.23)

де , , , – парціальний індекс частотної модуляції для складової з частотою .

Порівнюючи вирази для коливання з ЧМ та ФМ, одержуємо, що вони відрізняються тільки початковими фазами. Тому всі результати, отримані для ФМ, справедливі й для ЧМ, з тією лише різницею, що у випадку ЧМ у всіх формулах під індексом модуляції потрібно розуміти величину .

Таким чином, лінійна ЧМ зводиться до лінійного ФМ, але з тією лише різницею, що індекс модуляції при ЧМ для кожної складової модулюючого коливання з частотою обернено пропорційній цій частоті, в той час як при ФМ індекс модуляції постійний і від частоти модуляції не залежить. Ця обставина приводить до відмінностей спектрів ЧМ і ФМ.