61.Движение свободной частицы

Частица наз. свободной ,если она движется в отсутствии внешних полей.Если внеш. Полей нет,то U=0.Частица движения вдоль Ох:

+ E =0

=K²-обозначение

+K² =0 – описывает движение свободной частицы

:

(х)=Ae^-ikx

A,K-некие постоянные

(x,t)= Ae^-iwt+Kx

K= ; w=

Ψ(x;t)=A

Ψ(x;t)-представляет собой ур-ие плоской монохр. Волны де Бройля.Плотность вероятности этой функции будет определяться A²;

Энергетический спектр свободной частицы:

E= = т.е. свободной частица может принимать любое значение,т.к K=

Энергетический спектр свободной частицы непрерывный.

62. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками».

U=0

где l— ширина «ямы»

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи :

Общее решение дифференциального уравнения

Условие y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

( n=1,2,3..)

Если представить графически собственные функции ѱ(x), а также плотность вероятности , то эти значения для разных значений энергии представляются в следующем виде:

Энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен:

Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная

62. Прохождение частицы сквозь потенциальный прогиб.

Общее решение может быть представлено в следующем виде:

для области 1 для области 2

для области 3

Для области 1 полная волновая функция:

После подстановки значений :

В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа , распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).

В области 2 решение зависит от соотношений Е>U или Е<U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при Е<U законы классической физика однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер.

В области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

62. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можем записать

( для области 1),

(для области 2),

(для области 3).

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е > U), либо отразится от него (при Е < U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при E > U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E < U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х >l, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микро частицы при условиях данной задачи.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для каждой из выделенных на рис., области имеет вид

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

(для области 1);

(для области 2);

(для области 3).

В частности, для области 1 полная волновая функция, будет иметь вид

В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну , распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).

Решение содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В₃ следует принять равным нулю.

В области 2 решение зависит от соотношений Е > U или Е < U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при Е < U законы классической физики однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, q = i — мнимое число, где

Учитывая значение q и B₃=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(для области 3).

Квантовая механика приводит к специфическому «тунельному эффекту», в результате которого любой микрообъект может пройти сквозь потенциальный борьер. Водтся коэффициент прозрачности потенциального барьера

D=D_o*

Где D_o-постоянный множитель зависящий от массы, ширины барьера, чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него