42. Получение из ф-лы планка частных законов теплового излучения

В области малых частот, т. е. при hv << kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка, найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса.

Из формулы Планка можно получить закон Стефана — Больцмана.

Введем безразмерную переменную x = hv/(kT); dx = hdv/(kT); dv = kTdx/h. Формула для R_e, преобразуется к виду

. Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана. Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью:

откуда

Значение _max, при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc/(kTl_max), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает х=4,965. Следовательно, hc/(kTl_max) = 4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина.

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана а и Вина b. С другой стороны, зная экспериментальные значения а и b, можно вычислить значения А и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

43. Температура: радиационная, цветовая, яркостная

Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры, называется оптической пирометрией.

Пирометры- приборы служащие для измерения температуры тела по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра.

Различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

1. Радиационная температура — это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость R_e, равна энергетической светимости R_T исследуемого тела. Согласно закону Стефана — Больцмана радиационная температура опредиляется:

Радиационная температура Т_р тела всегда меньше его истинной температуры Т, т.к излучательная способность серого тела равна:

Так как А_т < 1, то Т_р < Т, т. е. истинная температура тела всегда выше радиационной.

2. Цветовая температурa. Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости

где A_T = const < l. Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре черного тела, имеющего ту же температуру, поэтому к серым телам применим закон смещения Вина, т.е. цветовая температура будет определятся через максимальную излучательную способность.

Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной.

3. Яркостная температуря Т_я — это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, т. е.

где Т—истинная температура тела.

По закону Кирхгофа , для исследуемого тела при длине волны l

Так как для нечерных тел А < 0, то r_l,Tя < r_l,T и, следовательно, Т_Я < Т, т.е. истинная температура тела всегда выше яркостной.