6.Степені з раціональними показниками , їхні властивості.

Степені з раціональними показниками це такі степені в основі яких лежить раціональне число.

7.Функція y=tgx , її властивості та графік.

8.Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

§ 8. Співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу.

Під час вивчення тригонометричних функцій гострого кута у 8-му класі за теоремою Піфагора було доведено основну тригонометричну тотожність

sin² + cos² = 1.          (1)

Вона виконується для тригонометричних функцій будь-якого кута і тригонометричних функцій довільного числового аргументу. Доведемо це. Якщо косинус числа α — це абсциса точки Р_ одиничного кола, а синус числа  — ордината цієї точки, тобто х=cos, у=sin, то точка Р_α(х;у) віддалена від центра кола на відстань, що дорівнює 1. Відомо, що відстань точки від початку координат визначається за формулою х² + у²= r². Оскільки r = 1, то  х² + у²= 1, тобто sin² + cos² = 1.

Означивши тангенс і котангенс через синус і косинус, ми ввели ще два незалежних співвідношення:

З тотожностей (1 )—(3) як наслідок випливають ще кілька співвідношень, які часто використовують при обчисленні значень тригонометричних функцій через дане значення однієї з них та в інших задачах.

Перемноживши почленно рівності (2) і (3), дістанемо

tg · ctg = 1,

звідки

 

Поділивши почленно рівність (1) на cos²дістанемо

звідки

 

Поділивши почленно рівність (1) на sin²дістанемо

звідки

Тотожність (1) виконується для будь-якого значення аргументу, тотожності (2) і (3) — для всіх значень, крім тих, для яких cos=0 і sin=0.

Наведемо приклади застосування основних тригонометричних тотожностей для обчислення значень тригонометричних функцій за відомим значенням однієї з них. Вони ілюструють можливість спрощення обчислення значень тригонометричних виразів і показують шляхи доведення інших тригонометричних тотожностей.

                                                                                                                                                    Таблиця 3

Функція	sin	cos	tg	ctg
sin
cos
tg
ctg

Приклад 1. Знайти значення всіх тригонометричних функцій аргументу , якщо tg = 3/4 і  <  < 3.

Ρ о з в' я з а н н я. У III чверті, де на одиничному колі розміщено точки, які відповідають числу , тангенс і котангенс додатні, а синус і косинус від'ємні.

_{За тотожністю (6) знаходимо , , .}

_{За тотожністю (1) маємо: ,}   

За тотожністю (4)          

 У таблиці 3 подано формули, які пов'язують тригонометричні функції одного й того самого аргументу. У наведених формулах перед знаком радикала треба поставити знак « плюс» або « мінус» залежно від того, в якій чверті лежить кут , і саме так, щоб знак тригонометричної функції, який стоїть у лівій частині, збігався із знаком величини, що стоїть у правій частині рівності.

Приклад 2. Спростити вираз:

_{; ;}

3) 1 - sinctgcos; 4) (1 + cos)tg²l - cos);

7) sin² sin²β - cos²β - cos²;

8) sin⁴ — cos⁴  + 2 cos².

Розв'язання.

;

2)  l + sin² - cos² = (1-cos²) + sin² = sin²+sin² = 2 sin² .

3)  1-sinctgcos = 1 - sin cos= 1- cos² =sin²;

4)(1+cos) tg²(l -cos) = (1 -cos²)tg² =  sin² tg²;

_;

;

7) sin² - sin²β - cos²β - cos² = sin² - cos² - (sin²β + cos²β) = sin² - cos² - 1 = -2cos²

8) sin⁴ - cos⁴+ 2cos²= (sin² + cos²)(sin² - cos²) + 2 cos²= 1 - cos² - cos² + 2cos² = 1.

Приклад 3. Дано sin + cos = m. Знайти sincos.

Розв'язання. Піднесемо обидві частини даної рівності до квадрата. Маємо (sin + cos)² = m², або

sin² + 2sincos + cos² = m².

Звідси 1+2sinαcosα = m², отже, sinαcosα = _;

_{Приклад 4.Обчислити ,  якщо tg=}⁵_/2.

Розв'язання. Даний вираз слід спочатку виразити через tg а потім обчислити його значення. Для цього поділимо чисельник і знаменник даного дробу на cos² :

_{Якщо tg=5/2, то}

_{Приклад 5. Довести, що вираз не залежить від , тобто є величиною сталою.}

_{Розв'язання}.

_{Приклад 6. Довести тотожність , якщо 0<}

Розв'язання. Доведення тригонометричних тотожностей можна здійснювати різними способами:

1) за допомогою тотожних перетворень слід показати, що одну частину рівності (ліву чи праву) можна подати у вигляді другої;

2) кожну частину рівності звести до одного і того самого виразу:

3) скласти різницю лівої і правої частин рівностей і за допомогою тотожних перетворень показати, що ця різниця дорівнює 0.

Дану  тотожність  доведемо,   користуючись   першим способом:

оскільки синус і косинус, якщо 0<<π/2, додатні, 1- cos  0, тому |sin| = sin, |1+ cos|=1+cos, |1-cos|=1-cos  (косинус за модулем не перевищує 1).

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

Тут і далі запис kΖ означає, що k - будь-яке ціле число.

sin²α + cos²α = 1

tgα = sinα ⁄ cosα, α≠π(2k+1)⁄2, kΖ

ctgα = cosα ⁄ sinα, α≠πk, kΖ

tgα · ctgα = 1, α≠πk⁄2, kΖ

1 + tg²α = 1 ⁄ cos²α, α≠π(2k+1)⁄2

1 + ctg²α = 1 ⁄ sin²α, α≠πk

Формули додавання

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ

cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ

tg(α + β) = (tgα + tgβ) ⁄ (1 - tgα · tgβ)

tg(α - β) = (tgα - tgβ) ⁄ (1 + tgα · tgβ), α, β, α-β≠π⁄2+πk, kΖ

Формули подвійного аргументу

sin2α = 2sinα·cosα

cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

tg2α = 2tgα ⁄ (1-tg²α)

Формули половинного аргументу

sin²(α⁄2) = (1-cosα) ⁄ 2

cos²(α⁄2) = (1+cosα) ⁄ 2

tg(α⁄2) = sinα ⁄ (1+cosα) = (1-cosα) ⁄ sinα, α≠π+2πk, kΖ

Формули перетворення суми в добуток

sinα + sinβ = 2sin((α+β)⁄2) · cos((α-β)⁄2)

sinα - sinβ = 2cos((α+β)⁄2) · sin((α-β)⁄2)

cosα + cosβ = 2cos((α+β)⁄2) · cos((α-β)⁄2)

cosα - cosβ = - 2sin((α+β)⁄2) · sin((α-β)⁄2)

tgα + tgβ = sin(α+β) ⁄ cosα·cosβ

tgα - tgβ = sin(α-β) ⁄ cosα·cosβ, α, β≠π⁄2+πk, kΖ

Формули перетворення добутку в суму

sinα · sinβ = (cos(α-β) - cos(α+β)) ⁄ 2

cosα · cosβ = (cos(α-β) + cos(α+β)) ⁄ 2

sinα · cosβ = (sin(α-β) + sin(α+β)) ⁄ 2

Співвідношення між sinα, cosα і tg(α⁄2)

sinα = 2tg(α⁄2) ⁄ (1+tg²(α⁄2)), α≠(2k+1)π

cosα = (1-tg²(α⁄2)) ⁄ (1+tg²(α⁄2)), α≠(2k+1)π

Додаткові формули

sin3α = 3sinα - 4sin³α

cos3α = 4cos³α - 3cosα

Формули зведення

ctg (π/2 + α) = - tg α

ctg (π + α) = ctg α

ctg (3π/2 + α) = - tg α

ctg (π/2 - α) = tg α

ctg (π - α) = - ctg α

ctg (3π/2 - α) = tg α

ctg (2π - α) = ctg α

9.Функція y=ctgx , її властивості та

графік.