1. Моделирование.

Моделированием называется метод экспериментального изучения модели явления вместо натурного явления. Этот метод применяют в тех случаях, когда трудно или невозможно изучить натурное явление по техническим причинам. Примером такого случая может служить создание тепловой защиты космических аппаратов. Такие аппараты при возвращении на Землю проходят плотные слои атмосферы с огромными скоростями, и температура воздуха в пограничном слое около обшивки может достигать 13000 К. Чтобы спасти аппарат от полного разрушения, необходимо было разработать тепловую защиту. Ясно, что эта задача, кроме теоретических исследований, должна была быть решена на моделях в лабораторных условиях. При этом модель должна быть изготовлена так, чтобы процесс, протекающий в ней, был подобен натурному. Только при этом условии результаты эксперимента можно распространить на натурное явление.

Моделирование как метод распадается на два самостоятельных этапа: первый – создание модели; второй – измерения и наблюдения на модели. В основе первого этапа, который мы здесь и будем рассматривать, лежит теория подобия.

2. Основы теории подобия.

2.1 Основные понятия и определения.

Теория подобия – это учение о подобных явлениях. Прежде всего оно включает в себя геометрическое подобие. Геометрические фигуры одинаковой формы (например, треугольники) подобны, если соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется константой геометрического подобия:l^’’/l^’ =c_l. При этом отрезки, исходящие из соответственных вершин и связанные соотношением подобия l^’’/l^’ =с_l, называются сходственными отрезками, а их координаты – сходственными точками: x^’’/x^’ = y^’’/y^’ = z^’’/z^’ = c_l.

Подобие в физических явлениях требует соблюдения следующих условий. Физические явления могут рассматриваться как подобные, если они относятся к классу явлений одной и той же природы, описываются одинаковыми по форме и содержанию уравнениями. Обязательной предпосылкой физического подобия является геометрическое подобие. Кроме того, для подобных явлений обязательно подобие всех существенных величин. Поясним сказанное на примерах. Тепловое подобие означает подобие температурных полей и тепловых потоков; динамическое подобие означает подобие силовых полей; кинематическое подобие означает подобие траекторий и скоростей, и т.д. Сопоставлять можно только однородные величины (имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность) в сходственных точках и в сходственные моменты времени.

Два промежутка времени τ^’’ и τ^’ называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны равенством: τ^'' /τ^' = с_τ .

Константы подобия – это коэффициенты, показывающие, во сколько раз физические величины одной системы (явления) отличаются от тех же величин другой – подобной – системы. Для того, чтобы быть уверенными в том, что две рассматриваемые системы (лабораторная модель и натурная система) подобны, нужно иметь критерии подобия.

2. Вывод критериев подобия.

Рассмотрим условия подобия двух систем, в которых происходит конвективный теплообмен. Для подобия явлений, происходящих в этих системах, необходимо выполнение трех условий подобия:

1. протекающие процессы относятся к явлениям одной природы, качественно одинаковы и описываются тождественными уравнениями;

2. процессы протекают в геометрически подобных системах;

3. физические величины, характеризующие подобие явлений, подобны, т.е. в сходственных точках и в сходственные моменты времени однородные величины связаны соотношениями подобия: φ’’/φ^’ = c_φ.

Запишем уравнения конвективного теплообмена для обеих систем.

(1)

(2)

(3)

– для одной системы, и аналогичные – для второй системы.

(1^’)

(2^’)

(3^’)

В соответствии с третьим условием подобия однородные физические величины в этих системах должны быть связаны условиями подобия: x^’ = c_lx, w^’ = c_ww, μ^’ = c_μ μ, t^’ = c_tt и т.д. для всех участвующих в уравнениях величин. Выразим уравнения для второй системы (обозначения со штрихами) через координаты и физические величины первой системы. Мы получим в результате следующие уравнения:

(1^”)

(2^”)

(3^” )

По первому условию подобия уравнения, описывающие подобные явления, в обеих системах должны быть тождественны по форме. Поэтому комбинации из коэффициентов подобия в каждом из уравнений (1^”), (2^”), (3^”) должны быть равны между собой, чтобы, сократив их, мы получили систему (1), (2), (3). Из этого условия получим систему равенств:

Таким образом, оказывается, что комбинации из констант подобия определенным образом связаны между собой. Используя эти соотношения, получают некоторые инварианты, или критерии подобия. Рассмотрим примеры. Возьмем из первого ряда равенств соотношение . После сокращений и с учетом того, что каждая константа подобия есть отношение соответствующих физических величин в двух подобных системах, получим: . Это соотношение является инвариантом при переходе от одной системы к другой, ей подобной. Оно носит название критерия Рейнольдса. Чаще его записывают через коэффициент кинематической вязкости ν = μ/ρ: . Критерий Рейнольдса является одним из основных критериев гидродинамического пособия. Аналогичным образом можно получить другие критерии подобия, например: критерий Эйлера

критерий Фруда , критерий Струхаля и т.д.

Из второго ряда равенств получим критерии теплового подобия. Например,

Отсюда следует: – критерий Пекле. Критерий Пекле можно представить как произведение двух других критериев: где – критерий Прандтля. Из равенства следует – критерий Фурье. Наконец, из третьего ряда имеем равенство: , откуда следует – критерий

Нуссельта. В отличие от критерия Био , который нам знаком по нестационарной

теплопроводности, здесь λ – коэффициент теплопроводности среды.

Критериев подобия существует гораздо больше, чем мы здесь рассмотрели. Они названы именами известных ученых, занимавшихся проблемами гидрогазодинамики и теплообмена. Кроме того, что эти критерии являются инвариантами для двух подобных физических систем, они имеют определенный физический смысл. Так, критерий Рейнольдса является мерой соотношения сил инерции, связанных со скоростью потока, и сил внутреннего трения, зависящих от вязкости среды. Критерий Пекле является мерой соотношения конвективного и молекулярного переносов теплоты в потоке. Критерий Нуссельта является безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Критерий Био – мерой соотношения процессов теплоотдачи с поверхности тела и теплопроводности внутри тела.

Основные положения теории подобия сформулированы в виде трех теорем.

Первая теорема подобия. Подобные между собой физические процессы (или системы) имеют одинаковые критерии подобия.

Вторая теорема подобия. Уравнения, описывающие физические процессы, могут быть представлены в виде функциональной зависимости между критериями подобия, например,

Nu = f(Re,Pr).

Третья теорема подобия. Для того, чтобы физические процессы (или системы) были подобны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы эти процессы были качественно одинаковы, а их одноименные критерии численно равны.

Поскольку невозможно добиться равенства абсолютно всех критериев подобия в двух физических системах, на практике, как правило, прибегают к приближенному моделированию. А именно, удовлетворяют требованию равенства лишь основных критериев подобия, являющихся определяющими для данного процесса. Так, в случае исследования нестационарной теплопроводности существенными являются критерии Био и Фурье. В случае изучения переноса теплоты при вынужденной конвекции – критерии Рейнольдса, Пекле, Прандтля, Нуссельта, Фурье. При физическом моделировании на лабораторных экспериментах получают эмпирические соотношения в виде функциональной зависимости между собой критериев подобия. Если в натурном эксперименте выполняются условия подобия, то полученные соотношения будут справедливы и для него.