9. Гармонические колебания. Маятники. Идеальный контур.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Особую роль в колебательных процессах имеет простейший вид колебаний - гармонические колебания. Гармонические колебания лежат в основе единого подхода при изучении колебаний различной природы, так как колебания, встречающиеся в природе и технике, часто близки к гармоническим, а периодические процессы иной формы можно представить как наложение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия); - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания. Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.

Промежуток времени T, через который повторяются определенные состояния колебательной системы, называется периодом колебаний. Косинус - периодическая функция с периодом 2π, поэтому за промежуток времени T, через который фаза колебаний получит приращение равное 2π, состояние системы, совершающей гармонические колебания, будет повторяться. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний равен:  T = 2π/ Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν. Частота гармонических колебаний равна: ν = 1/T. Единица измерения частоты герц (Гц) - одно колебание в секунду. Круговая частота  = 2π/T = 2πν дает число колебаний за 2π секунд.

Графически гармонические колебания можно изображать в виде зависимости x от t (рис.1.1.А), так и методом вращающейся амплитуды (метод векторных диаграмм) 

(рис.1.1.Б).

2. Маятники.

1.Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника Пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону х=А соs (₀t + ) с циклической частотой и периодом

Потенциальная энергия пружинного маятника

2.Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела. Момент M возвращающей силы (*) где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника. При малых отклонениях маятника из положения равновесия sin , тогда формула (*) :

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести ( небольшой тяжелый шарик). Момент инерции математического маятника где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то периода малых колебаний математического маятника

Идеальный контур.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. В идеальном колебательном контуре активное сопротивление R = 0.

Колебательный контур – колебательная система. В контуре происходят периодические изменения энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля тока катушки.

В любой момент времени энергия при R = 0: где q и i – мгновенное значение, а q₀ и I₀ – амплитудные значения.

Свободные электрические колебания в идеальном колебательном контуре являются гармоническими.

Заряд на конденсаторе изменяется по закону

q = q0 cos ω0t.

Учитывая, что U = q / C, можно так же получить уравнение для изменения напряжения на конденсаторе:

u = U0 cos ω0t.

Ток в катушке индуктивности:

i = I0 cos (ω0t + π/2),

или

i = I0 sin ω0t.

Период свободных колебаний определяется параметрами самой колебательной системы: индуктивностью и емкостью (формула Томсона):