Задача 2.
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы
Решение:
а)
метод Крамера состоит в решении системы
линейных уравнений по формулам Крамера
,
где
(подробности
смотрите в пункте з) задачи 1.
Так
как
;
то
б) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы:
Составим расширенную матрицу данной системы.
.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу:
.
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид:
=
.
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на –3 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
=
.
Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1:
.
Умножим каждый элемент второй строки матрицы на –8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:
.
Данная
матрица соответствует системе уравнений
,
решение которой совпадает с решением
исходной системы. Начиная с последнего
уравнения, несложно найти все неизвестные.
Действительно,
так как
и
,
то
Отсюда,
Из
имеем
Ответ:
.
в)
решение системы в этом случае равно
=
,
где :
=
– обратная матрица для матрицы
=
,
– столбец свободных членов,
–
определитель этой матрицы. (Общую запись
системы трех линейных уравнений с тремя
неизвестными смотрите в задаче 1, пункт
з, система 2).
Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:
А =
.
Вычислим
ее определитель
= –4
–4
–6
=
.
Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
Тогда
= 
=
и
=
=
=
=
=
=
.
Отметим, что ответы, полученные при решениями разными методами, совпадают между собой.
Ответ:
Элементы теории вероятности и математической статистики
Для решения задачи 3 см. 
глава 1,
§ 1–5.
Задача 3.
На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги. Вычислить вероятность того, что среди них:
а) нет упаковок с бумагой более низкого качества,
б) есть одна упаковка такой бумаги.
Решение: Общее число возможных
элементарных исходов для данных испытаний
равно числу способов, которыми можно
извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок,
то есть:
– числу сочетаний из 28 элементов
по 3:
а) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть:
–
искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
б)
подсчитаем число исходов, благоприятствующих
данному событию (среди трех упаковок
бумаги 1 упаковка содержит бумагу более
низкого качества): две упаковки можно
выбрать из 24 упаковок:
способами, при этом одну упаковку нужно
выбирать из четырех:
способами.
Следовательно, число благоприятствующих
исходов равно
Искомая
вероятность равна отношению числа
исходов, благоприятствующих данному
событию, к числу всех элементарных
исходов
.
Ответ:
а)
б)
