16. Поняття розбиття множин на класи

Розбиття множини — це подання його у вигляді об'єднання довільної кількості підмножин, які попарно не перекриваються.

Система множин S={X1 … Xn} називається розбиттям множини M, якщо ця система задовольняє такі умови:

будь-яка множина Xk з S є підмножиною множини M:

X∈S: X⊆M

будь-які дві множини Xi, Xj з S мають порожній перетин:

∀Xi, Xj ∈ S: Xi≠Xj→Xi∩Xj = ∅.

об'єднання всіх множин, які входять в розбиття M, дає множину M:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/0/d/60d201ebebe43e4bffd7b09c4cc1bdfa.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/0/d/60d201ebebe43e4bffd7b09c4cc1bdfa.png" \* MERGEFORMATINET

Розбиття множини можна задати за допомогою задання на ній відношення еквівалентності. Утворене розбиття називатиметься фактормножиною за даним відношенням еквівалентності (позначається А/~), а його елементи — класами еквівалентності.

17. Декартів добуток. Кортеж. Число елементів декартового добутку.

В теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить множині X, а друга — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X×Y:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/c/d/ccdf6673a7e9cb048d9f878417da3f47.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/c/d/ccdf6673a7e9cb048d9f878417da3f47.png" \* MERGEFORMATINET

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13×4=52) {(A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений)}.

Для операції декартового добутку не справджуються асоціативність та комутативність, тобто (A×B)×C≠A×(B×C), A×B≠B×A.

Справедливі такі тотожності:

(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)

(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)

A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)

A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C)

Корте́ж або n-ка — в математиці впорядкована та скінченна сукупність елементів (нескінченний кортеж має назву сімейства).

Кількість елементів в кортежі визначає його довжину. Так, кортеж з двох елементів (тобто довжини 2) називається двійкою, з трьох елементів - трійкою і т.д. Кортеж з n елементів називається n-кою.

Головною властивістю кортежа, яка відрізняє його від множини є те, що, по-перше, кортеж може містити декілька екземплярів одного об'єкта (в множині однакові об'єкти не розрізняються, і ця властивість також відрізняє кортеж від впорядкованої множини), та, по-друге, об'єкти в кортежі впорядковані. Це твердження формалізується таким чином:

(a1, a2, ...,an) = (b1, b2, ..., bn) ⇔ a1 = b1, a2 = b2 ... an = bn

Часто кортеж з n елементів визначається індуктивно через впорядковану пару, тобто n-ка (де n > 2) визначається яквпорядкована пара її першого елемента, та кортеж з n-1 її останніх елементів:

(a1, a2, ..., an) = (a1, (a2, ..., an))

Тобто:

0-кортеж (тобто порожній кортеж) визначається як ∅

якщо x є n-ка, то {{a}, {a, x}} є (n + 1)-ка.

Наприклад, для трійки (1,2,2) це призводить до наступного визначення:

(1,(2,(2,()))) = (1,(2, {{2}, {2, ∅}} )) = (1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}} ) = {{1}, {1, {{2}, {2, {{2}, {2, ∅}}}}}}