26. Додавання цілих невід`ємних чисел. Теорема про існування і єдність суми.

Існування суми, її єдиність Теорема: «Сума цілих невід’ємних чисел завжди існує і вона єдина». Доведення теореми випливає з теореми про існування і єдиність операції обєднання множин.

Іншими словами, які б не було взято два цілих невід’ємних числа а і b, завжди можна знайти їх суму – ціле невід’ємне число с, яке і буде єдиним для заданих чисел а і b.

Сума декількох доданків Нехай сума двох доданків визначена і визначена сума п доданків. Тоді сума, що складається з n+1 доданка, тобто сума а1 + а2 + … + ап + ап+1 дорівнює а1 + а2 + … + ап + ап+1, тому а1 + а2 + … + ап + ап+1 = а1 + а2 + … + ап + ап+1.

Додати число до суми або суму до числа можна двома способами: обчислити суму і до результату додати дане число або додати це число до одного з доданків, а до результату додати другий доданок.

Для того щоб додати суму до суми, можна до одного з доданків першої суми додати один із доданків другої, а до другого доданку першої суми – інший доданок другої суми і одержані результати додати. Ці правила легко поширити на будь-яку кількість доданків і об’єднати їх одним правилом: якщо при додаванні маємо дужки, то їх можна опустити і об’єднати між собою доданки в будь-якій послідовності так, щоб обчислення виконувати найзручнішим способом. Із законами дії додавання учні початкових класів знайомляться поступово: спочатку вивчають переставну властивість додавання 1 клас, яка використовується при складанні таблиць додавання одноцифрових чисел, а далі для розкриття прийомів додавання та раціоналізації обчислень. В 4 класі при узагальненні і систематизації знань про дію додавання закони – переставний і сполучний формулюються та записуються у буквеному вигляді.

27. Закони додавання на множині цілих невід’ємних чисел Закон-:для будь-яких цілих невід'ємних чисел а і б виконується рівність а + б = б + аНехай а-число елементів в множині А,b-число елементів в множині В і А∩В=ᴓ.Тоді з визначення суми цілих невід’ємних чисел а + б є число елементів об’єднання множин А і В: а+b = n (AυB).Але множина Аυдорівнює множині ВυА згідно змістовній властивості об’єднання множин і значить n (AυB)=n(BυA).По визначенню суми n(BυA)=b+a тому a+b=b+a для будь-яких цілих невід’ємних чисел а і б.Докажемо тепер сполучний закон,докажемо,що для будь-яких цілих невід’ємних чисел а,b,c виконується рівність (a+b)+c=a+(b+c). Нехай а=n(A) b=n(B) c=n(C) причому A∩B=ᴓ B∩C=ᴓ.Тоді по визначенню суми двох чисел можна записати (а+b)+c=n(AυB)+n(C)=n(AυB)υC).Так як об'єднання множин підчиняється сполучному закону,то n((AυB)υC)=n(Aυ(BυC)).Звідси по визначенню суми двох чисел маємо n(Aυ(BυC__=n(A)+n(BυC)=a+(b+c). Отже, (a+b)+c = a+(b+c) для будь-яких цілих невід’ємних чисел a, b ,c.

28. Відношення «дорівнює» і «менше» на множині цілих невід’ємних чисел:а) виходячи з теоретико – множинних позоцій;б) через суму;в) через відрізок чисел натурального ряду. Нехай дано два цілих невід’ємних числа а і б.З теоретико-множинної точки зору вони являють собою число елементів кінцевих множин А іВ:а=n(A) b=n(B).Якщо ці множини рівно потужні то їм відповідає одне і те ж число а=б.Приходимо до визначення: числа а і б рівні якщо вони визначаються рівно потужними множинами : a=b↔A≈B деn(A)=a n(B)=b.Якщо множина А і В нерівно потужна,то числа,визначувані ними різні.В такому випадку,якщо множина А рівно потужна власній підмножині безлічі В і n(A)=a n(B) =b,говорять ,що число а менше числа б и пишуть:a˂b.В такій ситуації говорять,що b більше а і пишуть: b˃а a.˂b↔A≈B1∩B і B1≠B B1≠ᴓ.Друге визначення відношення «менше»: Число а менше числа b тоді і тільки тоді коли існує таке натуральне число с,що а+с=b.Таким чином виходить ще одне визначення відношення «менше»: число а менше числа b тоді і тільки тоді коли відрізок натурального ряду Na є власною підмножиною відрізка цього ряду Nb: a˂b↔NaυNb I Na ≠Nb/

29. Означення віднімання через теоретико-множинний зміст.Означення віднімання через суму Вираз:Різницею цілих невід'ємних чисел а і b назіваеться число елементів в доповненні множини В до безлічі А при умові що n(A)=a n(B)=b I B∩A a-b=n(A/B) де a=n(A) b=n(B) B∩A.Визначення:Різницею цілих невід’ємних чисел а і b називають таке ціле невід’ємне число с сума чкого і числа b рівна а. a-b=c↔a=b+c

Дії над натуральними числами

Віднімання

Дія, за допомогою якої за відомою сумою двох доданків і одним із них знаходять другий доданок, називаєтьсядією віднімання: .

У цьому записі число а — зменшуване, b — від’ємник, c — різниця.

Різниця двох натуральних чисел показує, на скільки перше число більше від другого або на скільки друге число менше від першого.

Властивості віднімання

1. Щоб відняти суму від числа, можна спочатку відняти від цього числа один доданок, а потім від отриманої різниці — другий: .

2. Щоб від суми відняти число, можна відняти його від одного з доданків, а до отриманої різниці додати другий доданок:; .

3. Якщо від числа відняти нуль, воно не зміниться: .

4. Якщо від числа відняти те ж саме число, одержимо 0: .

Множення

Помножити число a на число b означає знайти суму b доданків, кожний із яких дорівнює а:

або ,

де a і b — множники, c — добуток.

Властивості множення

1. Переставна.Від перестановки множників добуток не змінюється: .

2. Сполучна.Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого й третього чисел: .

Сполучна й переставна властивості множення поширюються на довільну кількість множників і дозволяють виконувати множення у довільному порядку: .

3. Розподільна.Щоб помножити суму на число, можна кожний доданок помножити на це число і знайдені добутки додати: .

Щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число й від першого добутку відняти другий: .

4. Якщо одиницю помножити на будь-яке число, дістанемо те саме число: .

5. Якщо хоча б один множник дорівнює 0, добуток дорівнює 0: .

Ділення

Ділення — дія, за допомогою якої за відомим добутком і одним із множників знаходиться другий множник.

Якщо , то і .

У записі число с — ділене, b — дільник, число а, а також вираз — частка.

Частка показує, у скільки разів ділене більше дільника.

Властивості ділення

1. На 0 ділити не можна.

2. Якщо розділити число на 1, дістанемо те саме число: .

3. Якщо розділити число на себе, дістанемо 1: .

4. Якщо розділити 0 на будь-яке число, крім 0, дістанемо 0: .

Ділення з остачею

Число а ділиться на число b націло, якщо , де n — яке-небудь натуральне число.

Наприклад, 15 ділиться націло на 3, оскільки .

В іншому випадку можна поділити а на b з остачею.

Для будь-яких чисел а та b завжди знайдуться такі числа с і r (натуральні або 0), що , де . Коли , то , тобто число а ділиться як на число b, так і на число c.

30. Правила віднімання числа від суми. Щоб відняти число від суми, достатньо відняти його з одного з доданків і до отриманого результату додати інший доданок: а) якщо , то , б) якщо , то .Щоб відняти від числа суму чисел, достатньо відняти від цього числа послідовно доданки.

Щоб від числа відняти суму двох інших чисел, достатньо послідовно відняти кожний доданок окремо.

28 - (8 + 9) = (28 -8) - 9 = 20 - 9 = 11

За цим правилом число можна віднімати частинами.

37 - 9 = 37 - (7 + 2) = (37 - 7) - 2 = 30 - 2 = 28. Правила віднімання суми від числа. Щоб відняти суму від числа потрібно відняти віз цього числа послідовно кожний доданок один за другим,якщо a,b,c-цілі невід’ємні числа,то при а≥b+с маємо a-(b+c)=(a-b)-c.

31.множення цілих невідємних чисел.