24. Натуральні числа та їх властивості. Число нуль. Множина цілих невід`ємних чисел. Порядкові і кількісні натуральні числа. Лічба.

Натура́льні чи́сла — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4,.. Множину натуральних чисел прийнято позначати знаком 

Використовуються при лічбі предметів та позначення їх кількості.

Властивості:

• Комутативність додавання: 

• Комутативність множення: 

• Асоціативність додавання: 

• Асоціативність множення: 

• Дистрибутивність множення відносно додавання

0— цифра й одночасно число, нейтральний елемент для операції додавання. Множення будь-якого елемента множини на нуль дає нуль.

Множина цілих невід’ємних чисел: 1. Множина цілих невід’ємних чисел впорядкована. Наприклад, вона впорядковується відношенням «менше», яке є транзитивним і антисиметричним. Для будь — яких цілих невід’ємних чисел а і b може виконуватись одне з трьох відношень: а b, а = b, а b. Можна розташувати числа так, щоб для будь-яких двох чисел спочатку йшло число менше, тоді отримаємо ряд цілих невід’ємних чисел: 0,1, 2, З, 4,… 2. Множина цілих невід’ємних чисел нескінченна. Для кожного цілого невід’ємного числа а можна вказати число, яке слідує безпосередньо за ним. Це число а + 1. 3. Множина цілих невід’ємних чисел дискретна. Це означає, що не можна вказати таке натуральне число, яке знаходиться між цілими невід’ємних числами а і а + 1. Самі ці числа називаються сусідніми.

Кількісні числівники виражають чисельність множини елементів і відповідають на питання: скільки елементів містить дана множина. Порядковий числівник вказує, яке місце при рахунку займає той чи інший елемент і відповідає на питання: який по рахунку буде відповідний елемент.  Всі народи не просто створили натуральні числа, відобразивши в них чисельність класу рівнопотужних скінченних множин, але й розмістили їх в такому порядку, що кожне наступне натуральне число характеризує множину, у якої елементів на один більше, ніж у попереднього. Почавши розміщення натуральних чисел з одиниці одержимо: 1, 2, 3 … 1000000 … Ця впорядкована множина називається послідовністю натуральних чисел. Множина натуральних чисел не скінчена, немає найбільшого, є найменше

Лічба елементів множини А називається встановлення взаємної відповідності між множиною А і відрізком а натурального ряду. Число а називається числом елементів в множині А пишуть а= n/A/. Це число а єдине і являється кількісним натуральним числом. 

25. Теоретико-множинний зміст кількісного натурального числа і нуля.

Розглянемо яку–небудь скінчену множину А і відберемо в один клас всі рівно потужні їй множини.  Наприклад:  М - множина пальців лівої руки;  М - множина пальців правої руки;  М - множина вершин зірочки і т.д.  Ці множини рівно потужні їх можна об’єднати в один клас різнопотужних множин. В кожній із них по 5 елементів. Спільна (5 елементів) властивість всіх множин одного класу еквівалентності і є натуральними числами.  Таким чином з теоретико – множинних позицій кількісне натуральне число є кількісна характеристика класу скінченних рівно потужних множин. Кожному класу відповідає одне і тільки одне натуральне число, кожному натуральному числу – один клас рівно потужних скінченних множин.  Число нуль – це кількісна характеристика класу порожніх множин.  В початковому курсі математики кількісне натуральне число розглядається як спільна властивість класу скінчених різнопотужних множин. Тому, якщо учні визначають число «один» на сторінці підручника проводиться зображення одного предмета і т.д.