20. Відношення еквівалентності

Відно́шення еквівале́нтності ( INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/5/5/f55d4435e31a3e1d665905db4b6afe24.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/5/5/f55d4435e31a3e1d665905db4b6afe24.png" \* MERGEFORMATINET ) на множині  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/2/1/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/2/1/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png" \* MERGEFORMATINET  — це бінарне відношення для якого виконуються наступні умови:

Рефлексивність

Симетричність

Транзитивність

Запис вигляду « INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/9/c/d9c3fb9123e3ee31964f23c0cc91e6d7.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/9/c/d9c3fb9123e3ee31964f23c0cc91e6d7.png" \* MERGEFORMATINET » читається як « INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET  еквівалентно  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/9/2/e/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/9/2/e/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png" \* MERGEFORMATINET ».

Класом еквівалентності  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/4/f/3/4f31f517151e9f4c7102d52351941689.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/4/f/3/4f31f517151e9f4c7102d52351941689.png" \* MERGEFORMATINET  елемента  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET  називається підмножина елементів, еквівалентних  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET . З зазначеного визначення випливає що, якщо  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/0/b/30b965d493f51ee96bbbc6bf888a1b7b.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/0/b/30b965d493f51ee96bbbc6bf888a1b7b.png" \* MERGEFORMATINET , то  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/f/0/ef02113fccc9339b1037cb6a3a3b8d61.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/f/0/ef02113fccc9339b1037cb6a3a3b8d61.png" \* MERGEFORMATINET .

Множина всіх класів еквівалентності позначається  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/3/5/235295e5955718a42df7a1354f81a98d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/3/5/235295e5955718a42df7a1354f81a98d.png" \* MERGEFORMATINET .

Для класу еквівалентності елемента  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png" \* MERGEFORMATINET  використовується наступне позначення:  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/8/1/88164354652817ffee36d596a683a2d4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/8/1/88164354652817ffee36d596a683a2d4.png" \* MERGEFORMATINET ,  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/f/9/0f940d1d6525509f035290d2494f0521.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/f/9/0f940d1d6525509f035290d2494f0521.png" \* MERGEFORMATINET ,  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/b/8/3/b83485941987ceeda522c166ff183ae2.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/b/8/3/b83485941987ceeda522c166ff183ae2.png" \* MERGEFORMATINET .

Множина класів еквівалентності по відношенню  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/5/5/f55d4435e31a3e1d665905db4b6afe24.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/5/5/f55d4435e31a3e1d665905db4b6afe24.png" \* MERGEFORMATINET  є розбиттям множини.

Приклади відношень еквівалентності[ред.]

Найбільш наочний і всім знайомий приклад відношення еквівалентності — поділ учнів школи на класи.

Відношення рівності (« INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/61406193a3ed199b8c8e8fed435d6980.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/61406193a3ed199b8c8e8fed435d6980.png" \* MERGEFORMATINET ») тривіальне відношення еквівалентності на довільній множині, зокрема на множині дійсних чисел.

Порівняння по модулю, («а ≡ b (mod n)»).

В Евклідовій геометрії

Відношення конгруентності (« INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16a7bd80bb5648a755eb58221d03546.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16a7bd80bb5648a755eb58221d03546.png" \* MERGEFORMATINET »).

Відношення подібності (« INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/5/9/e/59e9dae47909d3749054026c4c4ee061.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/5/9/e/59e9dae47909d3749054026c4c4ee061.png" \* MERGEFORMATINET »).

Відношення паралельності прямих (« INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/b/6/6b6916dc719f0070115683ee61bb7cf9.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/b/6/6b6916dc719f0070115683ee61bb7cf9.png" \* MERGEFORMATINET »).

Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

Еквівалентність функцій в Математичному аналізі:

кажуть що функція  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/a/1/2a1cca9c334f300e437302e165a1f15c.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/a/1/2a1cca9c334f300e437302e165a1f15c.png" \* MERGEFORMATINET  еквівалентна функції  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/1/0/7/10774db2cd269c5e2d4bf28f073903a7.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/1/0/7/10774db2cd269c5e2d4bf28f073903a7.png" \* MERGEFORMATINET  при  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET , якщо вона може бути представлена у вигляді:  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/9/2/0/92075557515e4da5b8abd3bac96def33.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/9/2/0/92075557515e4da5b8abd3bac96def33.png" \* MERGEFORMATINET , де  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/1/a/a1a6c48021cf2873cd88a7c65470b1c5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/1/a/a1a6c48021cf2873cd88a7c65470b1c5.png" \* MERGEFORMATINET  при  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET . В даному випадку пишуть  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/c/a/ecad7fbb37a3a9862806e261d4caddd9.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/c/a/ecad7fbb37a3a9862806e261d4caddd9.png" \* MERGEFORMATINET , при  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET . Якщо  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/f/5/0f53d3b0fe654a67a20b6c365c819b32.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/f/5/0f53d3b0fe654a67a20b6c365c819b32.png" \* MERGEFORMATINET  при  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/5/6/b/56b7902e86363f2104885a099da25bf2.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/5/6/b/56b7902e86363f2104885a099da25bf2.png" \* MERGEFORMATINET , еквівалентність функції  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/a/1/2a1cca9c334f300e437302e165a1f15c.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/a/1/2a1cca9c334f300e437302e165a1f15c.png" \* MERGEFORMATINET  та  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/1/0/7/10774db2cd269c5e2d4bf28f073903a7.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/1/0/7/10774db2cd269c5e2d4bf28f073903a7.png" \* MERGEFORMATINET  при  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/7/4/a74d1cc790271866b2f1f281d98584bb.png" \* MERGEFORMATINET , очевидно, рівносильна відношенню  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/e/e/6ee82f38c11c929d819f368af9a8cc5d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/e/e/6ee82f38c11c929d819f368af9a8cc5d.png" \* MERGEFORMATINET .

Ще один важливий, життєвий випадок: Коли лікар виписує ліки, в рецепті він записує класи еквівалентних ліків. Він не може вказати конкретний приклад абсолютно конкретний екземпляр упаковки таблеток або ампул. Таким чином, всі ліки розбиті на класи відношенням еквівалентності.