5)Основные логические операции в алгебре логики

В алгебре логики существует три основные операции:

Логическое отрицание {инверсия).

Обозначается: ?А, ¬A, not А, не А.

Высказывание ¬А истинно при ложном А и ¬А ложно при истинном А.

Логическое умножение {конъюнкция).

Обозначается А&В, A and В, А*В, А^В, АВ, А и В.

Высказывание А ^ В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Логическое сложение {дизъюнкция).

Обозначается: A v В, A or В, А + В, А или В.

Высказывание A v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны.

Остальные операции алгебры логики выражаются через первые три операции: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Перечислим их.

Логическое следование {импликация).

Обозначается: А > В, А => В.

Высказывание А > В ложно только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Важно: в операции импликации посылка А не обязана быть истинной, в отличие от логического оператора в языках программирования «если А, то В».

Импликация выражается через дизъюнкцию и отрицание: А => В = A v В.

Эквивалентность (равносильность, необходимо и достаточно).

Обозначается: А ~ В, А <=> В, А = В.

Высказывание А <=> В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Эквивалентность выражается через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: А <=> В = (¬А v В) ^ (¬B v А).

Исключающее ИЛИ.

Обозначается A XOR В.

Высказывание A XOR В истинно, когда А и В не равны.

Порядок исполнения операций задается круглыми скобками. При отсутствии скобок порядок выполнения операций следующий: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Формула алгебры логики (или составное высказывание) состоит из нескольких высказываний, соединенных логическими операциями. Исходные высказывания могут быть логическими переменными или логическими константами (имеющими постоянное значение ИСТИНА или ЛОЖЬ).

Логическая функция определяется на множестве логических переменных и логических констант, принимающих значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Значение функции вычисляется в результате выполнения логических операций с (или над) логическими операндами. Например:

F (А, В, С) = А ^ (¬ В v С); F(x1, х2, х3) = ¬x1 v х2 ^ ¬ х3

Логическую функцию можно задать двумя способами: логической формулой или таблицей истинности.

6)Формула Хартли для определения количества информации

Формула Хартли определяет количество информации, содержащееся в сообщении длины n.

Имеется алфавит А, из букв которого составляется сообщение:

Количество возможных вариантов разных сообщений:

где N — возможное количество различных сообщений, шт; m — количество букв в алфавите, шт; n — количество букв в сообщении, шт.

Пример: Алфавит состоит из двух букв «B» и «X», длина сообщения 3 буквы — таким образом, m=2, n=3. При выбранных нами алфавите и длине сообщения можно составить разных сообщений «BBB», «BBX», «BXB», «BXX», «XBB», «XBX», «XXB», «XXX» — других вариантов нет.

Формула Хартли определяется:

где I — количество информации, бит.

При равновероятности символов формула Хартли переходит в собственную информацию.

Формула Хартли была предложена Ральфом Хартли в 1928 году как один из научных подходов к оценке сообщений.