10. Оценка сложности циклических алгоритмов. Примеры.

Управляющий граф содержит цикл, но не содержит вложенных циклов. В этом случае, временная сложность зависит от количества повторений цикла.

Введем обозначения:

T_{тела цикла} – временная сложность операторов, выполняемых в теле цикла;

T_{условия} – количество операций, выполняемых при проверке условия цикла;

k – количество повторений тела цикла;

T(k) – временная сложность выполнения цикла, как функция, зависящая от параметра k.

Рассмотрим часто встречающиеся случаи:

1) Цикл с параметром c заголовком for i:=1 to n do

k = n, T(k) = k∙T_{тела цикла}.

2) Цикл с параметром с заголовком в общем виде for i:=a to b do

k = (b–a)+1, T(k) = k∙T_{тела цикла}.

3) Цикл с предусловием While … Do. Условие в таком цикле всегда проверяется на 1 раз больше по сравнению с количеством выполнений тела цикла.

T(k) = (k+1) ∙T_{условия} + k∙T_{тела цикла}, k ≥ 0.

4) Цикл с постусловием Repeat … Until. Количество выполнений тела цикла совпадает с количеством проверок условия цикла, минимально тела цикла выполняется 1 раз.

T(k) = k ∙T_{условия} + k∙T_{тела цикла}, k ≥ 1.

В случае, когда число повторений цикла равно константе, нижняя, верхняя и средняя оценки сложности совпадают, и их вычисление не требует особых пояснений. Рассмотрим случай, когда число повторений цикла является переменной величиной. В этом случае:

– Нижняя оценка сложности T_min соответствует случаю, когда тело цикла выполняется минимально возможное число раз, обозначим это число k_min .

– Верхняя оценка сложности T_max соответствует случаю, когда тело цикла выполняется максимально возможное число раз, обозначим это число k_max.

– Средняя оценка сложности вычисляется как сумма произведений вероятности того, что цикл выполнится k раз, на сложность алгоритма при k итерациях цикла, при этом значение k последовательно пробегает все значения от k_min до k_max.

T_average =

Пример:

Рассмотрим фрагмент алгоритма, в котором n – целое число, n и все значения n равновероятны.

x:=0;

For i:=1 to n do

x:=x+i;

Построим управляющий граф, внутри каждой вершины графа напишем ее вес.

Функция сложности T(k) = 1+2k. Поскольку количество повторений тела цикла k=n, можно переписать функцию сложности по-другому T(n) = 1+2n. Таким образом, параметром V, характеризующим сложность входных данных, является n (V=n).

Минимально цикл выполняется 0 раз, следовательно, T_min = T(0) = 1.

Максимально возможное число повторений тела цикла равно 10, значит T_max=T(10)=1+2∙10=21.

Поскольку все значения n равновероятны p₀ = p₁ = … = p₁₀ = .

T_avareage = ∙T(0) + ∙T(1) + … + ∙T(10) = ∙ (1 + 3 + 5 + …+ 21) = ∙ = 11.

Управляющий граф содержит вложенные циклы. Возможно два случая:

1. Количество повторений вложенного цикла не зависит от параметра внешнего цикла

Построить функцию сложности итеративного алгоритма умножения двух квадратных матриц А = {a_ij} и B = {b_ij} размера n x n, результатом которого является матрица C = {c_ij}, также размером n x n.

procedure MULTIPLY (n: integer; a, b: matrix; var c: matrix);

var i, j, k: integer;

begin

for i := 1 to n do {Цикл 1}

for j := 1 to n do {Цикл 2 и начало тела цикла 1}

begin

c[i, j] := 0; {Начало тела цикла 2}

for k := 1 to n do {Цикл 3}

c[i, j] := c[i, j] + a[i, k] * b[k, j]; {Тело цикла 3}

end {Конец тела цикла 2; конец тела цикла 1}

end;

Тип данных matrix определен вне процедуры как двумерный массив. Время доступа к элементам не учитываются при анализе алгоритмов. Прежде всего, выберем параметр V. Простой анализ текста показывает, что за параметр сложности данных можно взять размер n матриц, участвующих в вычислениях. Поскольку процедура представляет собой цикл по переменной i, то ее временная сложность

Т_α(n) = n·T⁽¹⁾.

В свою очередь,

T⁽¹⁾ = n·T⁽²⁾

и, следовательно,

Т_α(n) = n·(n·T⁽²⁾).

Тело цикла 2 состоит из одного оператора присваивания и цикла 3. Таким образом,

Т_α(n) = n·(n·(1 + n·T⁽³⁾)).

Тело цикла 3 включает умножение, сложение и присваивание (3 операции). Окончательно получаем

Т_α(n) = n·(n·(1 + n·3)) = 3n³ + n²