5. Проблема алгоритмической разрешимости. Примеры неразрешимых алгоритмических проблем.

Алгоритмическая проблема – проблема, в которой требуется найти единый метод (алгоритм) для решения бесконечной серии однотипных единичных задач.

Будем считать, что задача м.б. решена, если построен алгоритм, приводящий к результату, а именно к решению задачи. В этом случае задачу будем называть алгоритмически разрешимой.

Кроме того, будем считать алгоритмически разрешимой, для которой не построен алгоритм, а только каким-либо математическим методом доказали, что алгоритм может быть построен.

Если для некоторой задачи не удается построить алгоритм или доказать возможность его существования, тогда нужно попытаться доказаь невозможность построения адгоритма для данной задачи. Если она доказана, то задачу называют алгоритмически неразрешимой.

1900 Гилберт сделал доклад о 23 открытых проблемах.

10-я проблема – задача о разрешимости диофантова уравнения.

P(x₁…x_n)=Q(x₁…x_n), P,Q – полиномы

Задано уравнение с произвольными неизвестными и целочисленными коэффициентами. Указать способ, при помощи которого можно было бы после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах.

1970 Матиясевич доказал, что 10 проблема Гилберта является алгоритмически неразрешимой.

Ставить и решать алгоритмически точно вопросы алгоритмически разрешимых задач стало возможно после появления формального (точного) определения понятия алгоритма.

Доказательство неразрешимости проблемы не означает, что не могут быть созданы алгоритмы, решающие ее частный случай.

Докажем существование алгоритмически неразрешимых проблем. В качестве понятия, уточняющего понятие алгоритма, используем машину Тьюринга.

От противного.

Предположим, что для любой функции существует машина Тьюринга.

Утверждение 1. Множество всех машин Тьюринга счётно. Программу машины Тьюринга можно записать одним длинным, но конечным словом.

Поскольку множество всех конечных слов в конечном алфавите счетно, следовательно множество всех м.Т. также счетно.

Утверждение 2. Множество всех функций несчетно.

Предположим, что можно перенумеровать все функции. Докажем, что существует функция, у которой нет номера путем построения этой функции.

U(n)=1, если f_n(n) не определена

=f_n(n)+1, если f_n(n) определена

N – номер одной из уже пронумерованных функций.

Предположим, мы ошиблись и у нашей вновь построенной u есть номер, и он равен m

U(m)=1, если f_m(m) не определена

=f_n(m)+1, если f_m(m) определена

Если f_m(m) не определена, то почему-то возвращает результат 1. Предположение, что u принадлежит списку перенумерованных функций неправильное, значит множество всех функций несчетно.

Тогда существует функция, у которой нет соответствующей машины Тьюринга, ее алгоритма

6. Методы разработки алгоритмов. Суперпозиция, итерация, рекурсия и др.

Ключевым подходом в алгоритмизации является сведение задачи к подзадачам, а способ такого сведения определяет метод разработки алгоритмов.

1. Суперпозиция – самый простой метод. Состоит в том, что решение сложной задачи представляется как последовательное решение более простых задач, при этом результат решения предыдущей задачи используется в качестве входных данных для решения следующей задачи.

Разбивать задачу на подзадачи, можно:

1. разбивать исходные и выходные данные на части и упрощать их; под разбиением понимаем разделение структуры данных на части, например, разделение вектора из десяти компонент на два по пять компонент или разделение текста на предложения; под упрощением понимаем такие ситуации, когда, например X – число и его нельзя разбить на части, но его можно разложить в сумму X=X₁+X₂, так, что результаты f(X₁) и f(X₂), отыскиваются проще, чем f(X).

2. производить декомпозицию функции f, т.е превращать ее в суперпозицию более простых, f(X)=g(h(s(X))) или f(X)=g(X,h(X),s(X))

На практике используется совмещение этих методов.

2. Итерация – частный случай предыдущего метода. Разложение задачи в последовательность однородных подзадач.

f(X)=g(g(g(g(X))) или f(X)=g(X,s(X),s(X),s(X))

Однородность подзадач позволяет значительно сократить длину текста алгоритма за счет применения операторов повторения (циклов).

3. Метод последовательного приближения

Частный случай итерации. Сначала каким-либо образом угадывается значение x₀, близкое к решению. Далее это решение «уточняется». Чаще всего абсолютная точность недостижима, поэтому процесс потенциально бесконечен. Для того чтобы этого избежать, несколько изменяют начальную формулировку задачи: требуется отыскать не точное решение, а приближенное.

4. Метод обратной функции

Иногда обратная задача решается значительно более просто, чем исходная. Тогда имеющийся алгоритм решения обратной задачи, можно использовать для решения прямой задачи.

5. Рекурсия

При использовании рекурсии решение задачи сводится к решению той же самой задачи, но на более простом входном наборе данных. При этом появляется необходимость в дополнительных вычислениях, связанных со сведением одного набора данных к другому. При вычислении рекурсивной функции всегда выделяется рекурсивная и не рекурсивная части.

6. Метод полного перебора

Метод полного перебора применим в тех случаях, когда решение принадлежит некоторой конечной области и может быть найдена простая функция для проверки выбранного решения. Сложность заключается в том, что при увеличении количества исходных данных быстро увеличивается необходимое число проверок.