31. Примеры алгоритмов на графах (поиск кратчайшего пути, поиск циклов, алгоритм построения остовного дерева, выделения связных компонентов…).

Алгоритм Дейкстры:

Дан орграф G с множеством вершин V(G). Массив w — это двумерный массив стоимостей, где элемент w[i, j] равен стоимости дуги i → j. Если дуги i → j не существует, то w[i, j] ложится равным ∞, т.е. большим любой фактической стоимости дуг. В графе выделены две вершины, s и f, начало и конец пути.

В общем случае может существовать несколько различных путей из s в f. С каждой вершиной v графа связана переменная l[v], называемая меткой. На каждом шаге l[v] содержит длину текущего кратчайшего особого пути к вершине v. В процессе работы метка изменяется (временная метка). Метка становится постоянной, когда найден самый короткий путь от вершины s к вершине v. Алгоритм заканчивает работу, когда постоянной становится метка от s до f. Переменная p принимает в качестве своих значений вершины графа. Н – множество вершин, имеющих временные метки.

А лгоритм Дейкстры

Несложно внести изменения в алгоритм так, чтобы можно было определить сам кратчайший путь (т.е. последовательность вершин) для любой вершины. Для этого надо ввести еще один массив Р1 вершин, где P1[v] содержит вершину, непосредственно предшествующую вершине v в кратчайшем пути. В программе надо записать условный оператор с условием l[p]+w[p,v]<l[v], при выполнении которого элементу P1[v] присваивается значение p. После выполнения алгоритма кратчайший путь к каждой вершине можно найти с помощью обратного прохождения по предшествующим вершинам массива Р1.

Алгоритм поиска циклов:

Наверное тебе стоит обойти граф "каким либо" способом при этом помечая вершины в которых ты был, если попадаешь в вершину, где уже побывал, то делаем вывод, что найден цикл и т.д.

Поиск Эйлерова цикла в графе

Будем рассматривать самый общий случай — случай ориентированного мультиграфа, возможно, с петлями. Также мы предполагаем, что эйлеров цикл в графе существует (и состоит хотя бы из одной вершины). Для поиска эйлерова цикла воспользуемся тем, что эйлеров цикл — это объединение всех простых циклов графа. Следовательно, наша задача — эффективно найти все циклы и эффективно объединить их в один.

Реализовать это можно, например, так, рекурсивно:

procedure find_all_cycles (v)

var массив cycles

1. пока есть цикл, проходящий через v, находим его

добавляем все вершины найденного цикла в массив cycles (сохраняя порядок обхода)

удаляем цикл из графа

2. идем по элементам массива cycles

каждый элемент cycles[i] добавляем к ответу

из каждого элемента рекурсивно вызываем себя: find_all_cycles (cycles[i])

Достаточно вызвать эту процедуру из любой неодиночной вершины графа, и она найдёт все циклы в графе, удалит их из графа и объединит их в один эйлеров цикл.

Для поиска цикла на шаге 1 используем поиск в глубину.

Сложность полученного алгоритма — O(M), то есть линейная относительно количества рёбер М в данном графе.

Построение остовного дерева

Алгоритм Прима.
	Начинаем с пустого U=0. Добавляем к U вершины, каждый раз находя ребро наименьшей стоимости между U и V-U. Положить в U любую вершину; // изначально U - пусто. while ( V-U не пусто ) { Выбрать ребро (u, v) наименьшей стоимости, u из U, v из V-U; Добавить v к U (и убрать из V-U); } Очевидно, данный алгоритм имеет сложность O(V2)
Алгоритм Краскала.
		В отличие от алгоритма Прима, этот алгоритм не требует прохода по всем вершинам для нахождения ребра с минимальным весом. Вместо этого он использует 'жадный' подход. Работаем с вершинами, а не с ребрами G. Это дает нам V связных компонент. Будем увеличивать их размер по ребру за раз. Число ребер, необходимое для остовного дерева: V-1. Граф связен, а значит E содержит как минимум такое их количество. Создаем список вершин L, в неубывающем по весу порядке while ( число отмеченных вершин < V-1 ) { w = L.Remove(); // удалить из головы списка if ( w соединяет две несвязных компоненты ) отметить w и добавить к MST else // w - внутри компоненты не отмечать w // это приведет к циклу в MST } Сложность алгоритма составляет O(E*lg E).

Выделение связной компоненты графа.

В этом алгоритме три этапа - первоначальная разметка, распространение разметки и формирование результата.

1. Первоначальная разметка

Пометим все вершины первым маркером - нам про них ничего не известно. Выберем любую вершину (например, первую (или нулевую)), пометим ее вторым маркером, ведь она может быть достигнута сама из себя.

2. Разметка соседних вершин

Если нет вершин, помеченных вторым маркером - переходим к третьему этапу. Выберем любую вершину, помеченную вторым маркером. Пометим ее третьим маркером. Все вершины, соседние с данной и помеченные первым маркером, пометим вторым маркером. Повторим этот пункт с начала.

3. Завершение работы

Если нужно получить список вершин, входящих в одну компоненту связности с заданной вершиной, то выбираем вершины, помеченные третьим маркером, в отдельный массив. Если нужно получить список вершин, не входящих в одну компоненту связности с заданной вершиной, то выбираем вершины, помеченные первым маркером в отдельный массив и возвращаем полученный массив. Если нужно просто проверить граф на связность, то считаем вершины, помеченные первым маркером, и сравниваем получившееся число с нулем. Если число вершин, помеченные первым маркером, равно нулю, то граф связный.