6.41 Энергетический спектр частицы_______________________________________________

Собственные значения энергии частицы_______________________________________________

Получается из выражений и . Спектр энергии частицы дискретен. Квантованные значения Е_п – уровни энергии, п — квантовое число.

Минимальная, не равная нулю энергия,

соответствующая основному состоянию_______________________________________________

_ ____________

Наличие отличной от нуля минимальной энергии — следствие соотношения неопределенностей 6.18. Неопределенность импульса (частица «зажата» в яме, следовательно, ее положение известно с неопределенностью ). Поэтому энергия нулю не может быть равна (это потребовало бы выполнения условия ).

♦ Состояние с энергией Е₁ — основное состояние, остальные состояния возбужденные. Энергии возбужденных состояний: 4Е₁, 9Е₁, 16Е_1; ... (соответственно значениям квантовых чисел п = 2, 3, 4, ...) (см. рис. 6.42).

6.42 Собственные функции и плотности вероятности

обнаружения частицы

на разных расстояниях от стенок ямы______________________________________________

Из рисунка следует, что, на­пример, в состоянии с п = 2 частица не может находить­ся в центре ямы, в то же вре­мя одинаково часто может пребывать в ее левой и пра­вой частях. Такое поведение частицы указывает на не­состоятельность представ­лений о траекториях частиц в квантовой механике.

6.2.9. Отражение и прохождение

СКВОЗЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ

6.43 Прямоугольный бесконечно протяженный порог______________________________

Одномерный потенциальный порог	Потенциальная энергия	Стационарное уравнение Шредингера для одномерного случая

[U₀ — высота потенциального порога; Е — полная энергия частицы; т – масса частицы]

6.44 Энергия частицы больше высоты порога_(Е > U₀)______________________________

— волновые числа; λ₁ и λ₂ — соответственно длины волн де Бройля в областях 1 и 2.]

Общие решения уравнений Шредингера____________________________________________

соответствует плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси х (падающей волне),

— отраженной волне.

Амплитуда падающей волны принята за единицу (А₁ = 1). В области 2 наблюдается только прошедшая волна, поэтому В₂ = 0.

♦ О волнах может идти речь после умножения на временной множитель, по­скольку Ψ — координатная часть волновой функции.

6.45 Коэффициенты отражения и прозрачности____________________________________

Коэффициент отражения__________________________________________________________

Р авен отношению плотности потока отраженных ( п\) частиц к плотнос­ ти потока падающих (n₁) частиц.

Коэффициент прозрачности_______________________________________________________

Р авен отношению плотности потока прошедших (тг₂) частиц к плотности потока падающих (n₁) частиц.

Значения n₁; ; п₂

6.46 Определение R и D для случая Е > U_{0______________________________________________________________}

320

Коэффициент отражения___________________________________________________________

Как п в оптике, R + D = 1. Коэффициент R можно истолковать как вероятность отражения на границе областей, а D — вероятность преодоления потенциального порога. Тогда можно утверждать, что частица либо отразится, либо пройдет в область 2.

Коэффициент прозрачности

Вывод. В случае Е > U₀ (низкий потенциальный порог) волна частично отражается (коэффициент В₁ отличен от нуля) и частично проходит в область 2. В области 2 длина волны де Бройля больше, чем в области 1.

Итак, при Е > U₀ волновое число к₁> к₂ и длина волны λ₂ > λ.₁.

6.47 Энергия частицы меньше высоты порога (Е < U₀)________________________________

	Область 1	Область 2
Уравнение Шредингера
Общие решения уравнений Шредингера		При . Однако волновая функция по своему физическому смыссвоему физическому смыслу должна оставаться должна оставаться конечной при всех значени­ях. Следопри всех значениях. Следовательно, нужно принять А2 = 0

_{6.48 Определение коэффициента отражения R для случая Е < U0}

Решение уравнений Шредингера	Условия непрерывности	Определение коэффициентовА1 и В1

Коэффициент отражения 6.46_______________________________________________________

При Е < U0 коэффициент отражения равен единице, т. е. отражение частиц будет полным.

Вероятность найти частицу на единице длины в области 2_________________________

, т. е. в случае Е < U₀

(высокий прямоугольный потенциальный порог), хотя и наблюдается явление полного отражения, имеется отличная от нуля вероятность найти частицу в области 2, правда, она экспоненциально убывает с уве­личением х. Микрочастица благодаря своим волновым свойствам мо­жет проникать в области, «запрещенные» для классических частиц.