6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________

Уравнение	Обычная запись уравнения	Гамильтониан, оператор полной энергии	Операторная форма
Временное уравнение Шредингера
	Ψ = Ψ(х, у, z, t). Уравнение Шредингера в операторной форме имеет более общий характер и пригодно для описания движения частицы в произвольных стационарных и нестационарных полях, в частности в случае движения частицы в электромагнитном поле
Стационарное уравнение Шредингера

[Е — полная энергия частицы; Ψ = Ψ(х, у, z) — координатная часть волновой функции Ψ(x, y, z, t); стационарное уравнение Шредингера в операторной форме имеет регулярные решения лишь при определенных значениях Е, образующих спектр оператора полной энергии]

6.2.7. Движение свободной частицы

Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(х) = соnst и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией.

6.38 Уравнение Шредингера для стационарных состояний ______________________

Уравнение Шредингера ______________________

Ψ(х) = Аe ^iкх = (А = const, к = const);

♦ Зависящая от времени волновая функция Ψ(x, t) представляет собой монохроматическую волну де Бройля 6.16.

Собственные значения энергии________________________________________________

Э нергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. энергетический спектр свободной частицы непрерывен.

Плотность вероятности___________________________________________________________

М ера вероятности нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства. В данном случае плотность веро­ятности не зависит ни от времени, ни от координат: все положения свободной частицы в пространстве равновероятны.

6.2.8. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ

6.39 Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками_________________________

[ — ширина ямы; энергия отсчитывается от дна ямы; k — волновое число; Е — полная энергия частицы]

6.40 Решение уравнения Шредингера для частицы в яме_____________________________

Граничные условия_______________________________________________________________

Э то следует из условия непрерывности. За пределы ямы частица не проникает, и в областях х < 0 и х > I волновая функция Ψ(х) = 0.

Общее решение уравнения Шредингера_____________________________________________

Ψ (0) = Ψ( ) = 0, поэтому В = 0.

Условию Ψ( ) = А sin k = 0 удовлетворяет

(n = 1,2,3,...).

Собственные функции____________________________________________________________

А = (коэффициент находится из условия нормировки: )

Нормированные собственные функции_____________________________________________

З начение п = 0 приводит к тривиальному результату Ψ(x) = 0, а отрицательные значения п — к тем же функциям, но с отрицательным знаком, что не дает новых физических решений.

318