6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________

Линейный оператор_________________________________________________________________

Оператор линейный, если для любых двух функций и любых постоянных С₁ и С₂ выполняется записанное условие. В квантовой механике

применяются только линейные операторы (чтобы применение операто- ров не нарушало принципа суперпозиции состояний).

Примеры:

Линейный эрмитов оператор_____________________________________________________

Оператор эрмитов, если выполняется записанное условие; Ψ₁ и Ψ₂ — произвольные функции

(звездочка означает операцию комплексного сопряжения), а интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных. Примеры: ;

6.29 Свойства собственных функций______________________________________________

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора_____________

В уравнении — оператор, отвечающий данной физической величине; если оператор воспроизводит функцию Ψ с точностью до множителя L, то Ψ — собственная функция оператора , а множитель L — собст­венное значение оператора .

♦ Функция Ψ удовлетворяет стандартным условиям (определена по всей об­ласти независимых переменных, непрерывна, однозначна и конечна) и условию квадратичной интегрируемости (интеграл сходится).

Взаимно ортогональные собственные функции_____________________________________

Собственные функции и линейного эрмит ова оператора , отвечающие различным соб­ственным значениям и , взаимно ортогональны, если они отвечают записанному условию.

Ортогональные и нормированные системы функций_______________________________

Предыдущее равенство объединено с условием нормировки вероятностей 6.22.

В квантовой механике используются эрмитовы операторы, так как соб­ственные значения эрмитовых операторов — действительные числа.

6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________

Разложение функции по собственным функциям

Любая функция Ψ(х), определенная в той же области переменных и подчиненная тому же

классу граничных условий, что и собственные функции Ψ_п(х), может

быть разложена в ряд (в обобщенный ряд Фурье).

[Ψ_п(х) — ортогональные собственные функции оператора , отвечающего дан­ной физической величине]

Вероятность результатов измерения______________________________________________

Квадраты модулей коэффициентов разложения в ряд играют роль веро­ятностей получить при измерениях физической величины одно из чисел

L₁, L₂, ... , L_п, ... , являющихся собственными значениями оператора . Иными словами, вероятность того, что при измерении физической ве­личины L будет получено числовое значение L_n, равна .

6.31 Средние значения физических величин__________________________________________

Среднее значение физической величины L в состоянии Ψ______________________________

[ — соответствующий оператор; Ψ — нормированная волновая функция, dV— элемент объема в пространстве независимых переменных, а интеграл берется по всей области изменения этих переменных]

6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________

Если двум физическим величинам отвечают коммутирующие операторы, то эти величины могут иметь одновременно определенные значения (поэтому в принципе могут быть измерены одновременно).

Если двум физическим величинам отвечают некоммутирующие операторы, то они не могут одновременно иметь определенных значений.

6.2.6. ОПЕРАТОРЫ ВАЖНЕЙШИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________

Постулат, устанавливающий связь между изображением физических величин

операторами и опытом____________________________________________________________

Совокупность собственных значений оператора (L₁, L₂, ... , L_n, …) тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерений механической величины L, изображаемой оператором .

Иными словами, на опыте наблюдаются только те значения величин: которые совпадают с одним из собственных значений оператора соответствующего рассматриваемой величине.