Тема 4.
Ранговая корреляционная связь и ее изучение.
Корреляционная связь – связь, проявляющаяся не в каждом отдельном случае, а в массе случаев в средних величинах в форме тенденции. Связь двух признаков (x,y) называется парной корреляцией.
Установить факт
наличия связи можно при помощи анализа
аналитической группировки по признаку
– фактору. Устанавливается результативный
показатель (
)
и фактор его изменения, характеризуемый
его показателем x.
Одним из основных методов выявления
наличия корреляционной связи является
метод аналитической группировки и
определение групповых средних. Все
единицы совокупности разбиваются на
группы по величине признака - фактора
и для каждой группы определяется средняя
величина результативного признака. На
основе данных аналитической группировки
строится график эмпирической линии
связи, вид которой не только позволяет
судить о возможном наличии связи, но и
дает некоторое представление о форме
корреляционной связи. Если эмпирическая
линия связи по своему виду приближается
к прямой линии, то можно предположить
наличие прямолинейной корреляционной
связи.
Качественная переменная. Ранжирование объектов по качественному признаку. Согласованные последовательности рангов.
Напомним, что качественной (порядковой) переменной называется такая переменная X, которую нельзя измерить в физических единицах, но которая позволяет сравнивать наблюдаемые объекты (субъекты) между собой и упорядочивать их по степени проявления качества, например в порядке убывания качества. Примеры качественных переменных приведены в разд. 1.1.
Ранжированием объектов по качественной переменной X называется процесс упорядочения объектов по степени убывания (возрастания) их качества. Результат ранжирования называется ранжировкой. Рангом объекта называется порядковый номер объекта в ранжировке.
Если все объекты выборки получают разные ранги, то ранжировка будет строгой; если несколько объектов выборки имеют одинаковое качество, то – нестрогой.
В случае нестрогой ранжировки применяют способ средних рангов: каждому из объектов однородной группы с одинаковым качеством присваивается ранг, равный среднему арифметическому порядковых номеров этих объектов в условно строгой ранжировке.
Перейдем к построению
согласованных последовательностей
рангов. Пусть изучается связь между
парой качественных переменных X и Y, для
чего сформирована выборка – результаты
последовательных наблюдений
.
Сначала расположим наблюдаемые пары в
порядке убывания (невозрастания) качества
по первой переменной X:
-
…
…
Затем присвоим этим парам порядковые номера в соответствующих условно строгих ранжировках по переменным X и Y. Получим следующую таблицу:
-
X
1
2
…
…
Y
…
…
В данной таблице
– ранг (порядковый номер) по переменной
Y того объекта, который имеет ранг
в первой ранжировке по переменной X.
Далее (если несколько объектов имеют одинаковое качество по некоторой переменной) применяем способ средних рангов, в результате получаем две согласованные последовательности рангов:
-
…
…
В первой строке таблицы представлена ранджировка по переменной X, во второй – согласованная с ней ранжировка по переменой Y.
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена
и проверка его статистической значимости
Этот коэффициент
используется для оценки тесноты ранговой
корреляционной связи между двумя
качественными переменными X
и Y
по данным
выборки
,
.
Условия его применимости следующие:
;
двумерная случайная величина (X,Y) имеет непрерывное распределение.
Важно отметить, что ранговая корреляция может применяться и для количественных переменных в случае, если заранее не гарантируется нормальность распределения.
Пусть проведено
ранжирование объектов и получены две
согласованные последовательности
рангов
,
.
Выборочный коэффициент ранговой
корреляции Спирмена вычисляется по
формуле
,
где
– разность рангов.
Он варьирует от –1,0 до +1,0. Чем ближе он по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. Знак при нем указывает направление связи: знак “ + ” соответствует прямой зависимости, знак “ - ” - обратной.
Для проверки
статистической значимости выборочного
коэффициента ранговой корреляции
Спирмена на заданном уровне значимости
выдвигается гипотеза об отсутствии
ранговой корреляционной связи:
при
.
Для проверки выдвинутой гипотезы используется статистика Стьюдента:
.
При условии
справедливости нулевой гипотезы
случайная величина T имеет
-распределение
Стьюдента с
степенями свободы.
Зная коэффициент
Спирмена
,
вычисляем наблюдаемое значение статистики
Стьюдента. По таблице квантилей
распределения Стьюдента определяем
критическую точку статистики Стьюдента:
при
.
Критерий проверки (разрешающее правило):
1. Если
,
то гипотеза
сохраняется (ранговая корреляционная
связь практически отсутствует).
2. Если
,
то гипотеза
решительно отвергается (существует
значимая ранговая корреляционная связь
между качественными переменными X,Y).
Задача 4
По 14-ти юридическим консультациям имеются соответствующие данные об объеме продукции (услуг) за месяц ( , тыс.руб.) и уровне компьютеризации труда ( , %). Статистические данные приведены в таблице.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
84 |
59 |
90 |
62 |
89 |
95 |
86 |
55 |
68 |
73 |
95 |
87 |
78 |
94 |
|
|
78 |
72 |
88 |
84 |
96 |
105 |
94 |
70 |
85 |
87 |
104 |
95 |
80 |
102 |
Для выявления наличия корреляционной связи между объемом оказанных услуг и уровнем компьютеризации требуется:
1. Построить аналитическую таблицу и дать графическое линии связи.
2. Измерить тесноту связи между признаками с помощью коэффициента рангов; проверить его достоверность.
Решение.
Результативный признак – объем услуг ( );
Факторный признак – уровень компьютеризации труда ( ).
Первичная информация проверяется на однородность по признаку-фактору с помощью коэффициента вариации.
100;
.
Для расчета
используем вспомогательную таблицу 1.
Таблица 1.
№ по порядку |
Уровень компьютериза-ции, Х ,% |
Объем услуг, y, тыс.руб. |
хi- |
(хi- )2 |
1 |
55 |
70 |
-24,6429 |
607,2704 |
2 |
59 |
72 |
-20,6429 |
426,1276 |
3 |
62 |
84 |
-17,6429 |
311,2704 |
4 |
68 |
85 |
-11,6429 |
135,5561 |
5 |
73 |
87 |
-6,64286 |
44,12755 |
6 |
78 |
80 |
-1,64286 |
2,69898 |
7 |
84 |
78 |
4,357143 |
18,98469 |
8 |
86 |
94 |
6,357143 |
40,41327 |
9 |
87 |
95 |
7,357143 |
54,12755 |
10 |
89 |
96 |
9,357143 |
87,55612 |
11 |
90 |
88 |
10,35714 |
107,2704 |
12 |
94 |
102 |
14,35714 |
206,1276 |
13 |
95 |
104 |
15,35714 |
235,8418 |
14 |
95 |
105 |
15,35714 |
235,8418 |
Итого: |
1115 |
|
|
2513,214 |
Среднее: |
79,64 |
|
|
179,5153 |
Ср.квадр. |
|
|
0,16823 |
13,39833 |
;
;
100
(%);
33%,
следовательно, совокупность можно считать однородной.
Для установления
факта наличия связи производится
группировка по признаку-фактору.
Группировка выполняется при равных
интервалах и числе групп
.
Величина интервала
определяется по формуле
.
Построим групповую аналитическую таблицу (таблицу средних).
Зависимость объема услуг от уровня компьютеризации
уровень компьютеризации, % ( ) |
Число консультаций,
|
|
Средняя величина объема услуг, тыс.руб. ( ) |
55-60 |
2 |
144 |
71 |
60-65 |
1 |
84 |
84 |
65-70 |
1 |
85 |
85 |
70-75 |
1 |
87 |
87 |
75-80 |
1 |
80 |
80 |
80-85 |
1 |
78 |
76 |
85-90 |
3 |
285 |
95 |
90-95 |
4 |
399 |
99,7 |
Как видно из данных групповой таблицы с увеличением уровня компьютеризации увеличивается объем предоставляемых услуг.
2. Для расчета коэффициентов корреляции рангов предварительно выполняется ранжирование по каждому признаку.
№ кон-суль-тации |
Уровень компьютеризации |
Объем услуг |
№ кон-суль-тации |
Уровень компьютеризации |
Ранг по |
№ кон-суль-тации |
Объем услуг |
Ранг по y |
1 |
84 |
78 |
8 |
55 |
1 |
8 |
70 |
1 |
2 |
59 |
72 |
2 |
59 |
2 |
2 |
72 |
2 |
3 |
90 |
88 |
4 |
62 |
3 |
4 |
84 |
5 |
4 |
62 |
84 |
9 |
68 |
4 |
9 |
85 |
6 |
5 |
89 |
96 |
10 |
73 |
5 |
10 |
87 |
7 |
6 |
95 |
105 |
13 |
78 |
6 |
13 |
80 |
4 |
7 |
86 |
94 |
1 |
84 |
7 |
1 |
78 |
3 |
8 |
55 |
70 |
7 |
86 |
8 |
7 |
94 |
9 |
9 |
68 |
85 |
12 |
87 |
9 |
12 |
95 |
10 |
10 |
73 |
87 |
5 |
89 |
10 |
5 |
96 |
11 |
11 |
95 |
104 |
3 |
90 |
11 |
3 |
88 |
8 |
12 |
87 |
95 |
14 |
94 |
12 |
14 |
102 |
12 |
13 |
78 |
80 |
6 |
95 |
13,5 |
6 |
104 |
13 |
14 |
94 |
102 |
11 |
95 |
13,5 |
11 |
105 |
14 |
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции рангов Спирмена
№ консуль-тации, |
Уровень компьютеризации |
Объем услуг |
Ранги |
(ранг - ранг ) |
|
|
|
|
|||||
1 |
55 |
70 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
59 |
72 |
2 |
2 |
0 |
0 |
3 |
62 |
84 |
3 |
5 |
-2 |
4 |
4 |
68 |
85 |
4 |
6 |
-2 |
4 |
5 |
73 |
87 |
5 |
7 |
-2 |
4 |
6 |
78 |
80 |
6 |
4 |
2 |
4 |
7 |
84 |
78 |
7 |
3 |
4 |
16 |
8 |
86 |
94 |
8 |
9 |
-1 |
1 |
9 |
87 |
95 |
9 |
10 |
-1 |
1 |
10 |
89 |
96 |
10 |
11 |
-1 |
1 |
11 |
90 |
88 |
11 |
8 |
3 |
9 |
12 |
94 |
102 |
12 |
12 |
0 |
0 |
13 |
95 |
104 |
13,5 |
13 |
0,5 |
0,25 |
14 |
95 |
105 |
13,5 |
14 |
-0,5 |
0,25 |
Сумма |
0 |
44.5 |
||||
.
Для проверки статистической значимости выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена на заданном уровне значимости =0.05 выдвигается гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи:
при .
Для проверки выдвинутой гипотезы исчисляется статистика Стьюдента:
.
При условии справедливости нулевой гипотезы случайная величина T имеет -распределение Стьюдента с степенями свободы.
Зная коэффициент Спирмена , вычисляем наблюдаемое значение статистики Стьюдента. По таблице квантилей распределения Стьюдента определяем критическую точку статистики Стьюдента:
при
.
, tкр=2,178
Критерий проверки (разрешающее правило):
1. Если , то гипотеза сохраняется (ранговая корреляционная связь практически отсутствует).
2. Если , то гипотеза решительно отвергается (существует значимая ранговая корреляционная связь между качественными переменными X,Y).
В нашем случае
,
6,7
2,18, следовательно, принимается гипотеза
о значимости корреляционная связь
между качественными переменными X,Y),
т.е. с повышения уровня компьютеризации
растет объем услуг.