Сложение векторов:

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к точке (концу вектора ) и получим вектор / Вектор называется суммой векторов и и обозначается . Это нахождение суммы называется правилом треугольника.

Сумму двух неколлинеарных векторов и можно найти по правилу параллелограмма. Для этого откладываем от любой точки векторы и , а затем строим параллелограмм (рис. 1.7,6). Диагональ параллелограмма определяет сумму:

Умножение вектора на число :

Произведением вектора на число называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору ;

2. сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если ;

3. длины связаны следующим соотношением: .

Компланарность векторов:

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

• Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

• Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Коллинеарность векторов :

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными.

Условия коллинеарности векторов

• Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.

• Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Орт вектора

   Ортом вектора называется вектор единичной длины, имеющий то же направление, что и вектор .    Орт вектора можно получить, разделив вектор на его длину:

.

Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Так в случае плоской задачи модуль вектора               можно найти по следующей формуле

.

Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов , , и любых действительных чисел справедливы равенства:

 Линейная комбинация векторов

 Линейной комбинацией векторов называют вектор

    

где - коэффициенты линейной комбинации.

Стандартный базис на плоскости — это упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов на данной плоскости (рис. 1.34,б). Согласно теореме 1.4, любой вектор , принадлежащий данной плоскости, может быть разложен по стандартному базису на плоскости , т.е. представлен в виде .

Стандартный базис в пространстве — это упорядоченная тройка единичных и попарно перпендикулярных векторов Первый базисный вектор на рис.1.34,в направлен перпендикулярно плоскости рисунка .Любой вектор в пространстве может быть разложен по стандартному базису в пространстве , т.е. представлен в виде .

43) Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства :

°    - симметричность.

2°    . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3°    Если , то

4°    Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°   

6°   

44) Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

1)    

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен следующим образом :

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

45) Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов  называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

                                .