1)Сложение матриц:

Пусть и — матрицы одинаковых размеров . Матрица тех же размеров называется суммой матриц

2) Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, что и матрица , каждый элемент которой равен произведению числа на соответствующий элемент матрицы

Транспонирование матрицы :

Если  в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной. Например, дана матрица М, каждую строчку этой матрицы перенесем в соответствующий столбец матрицы, стоящей на рисунке рядом. Вторая матрица - это транспонированная матрица матрицы М.

39) Определитель квадратной матрицы:

Определи́тель —является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Свойства определителя :

1)Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.

2)Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.

3)Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

4)Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.

5)Определитель с нулевым рядом равен нулю.

6)Определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

7)Определитель не меняется при транспонировании.

8)Общий множитель можно вынести за знак определителя.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.

Вычисление определителей второго порядка. Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу: Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной. .

Вычисление определителей третьего порядка. Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

40) Перемножение матриц. Нахождение обратной матрицы.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

Элемент произведения матриц приведённых выше вычисляется следующим образом

Нахождение обратной матрицы :

1)Пусть А – квадратная невырожденная матрица (определитель не равен нулю ). Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если А*A^-1=E (единичная матрица)

1)Сначала вычисляем определитель.

2) , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} Например,   

3)Транспонируем полученную матрицу

4)Вычисляем обратную матрицу по формуле ,Ст – транспонента.

5)Делаем проверку : A*A^-1 = E

41) Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Крамера:

Метод Крамера :

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Матричный метод (обратная матрица) :

1)Сначала вычисляем определитель.

2) , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} Например,   

3)Транспонируем полученную матрицу

4)Вычисляем обратную матрицу по формуле ,Ст – транспонента.

5)Делаем проверку : X=A^-1*B

42) Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB. Когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный вектор. Термин подчеркивает, что точка приложения геометрического вектора может меняться произвольно

Геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще связанными векторами.

Линейные операции над геометрическими векторами