30) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка:

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты  и  постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции  единицей, а и - соответствующими степенями , называется характеристическим уравнением.

Определителем Вронского W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) из C_n-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:

Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.

Если функции y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке: W(x; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) ≡ 0 на [a;b].

Другими словами, функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависимы на интервале (a, b), если существует равная нулю на (a, b) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно независимы на интервале (a, b), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a, b).

31) Линейные неоднородные  дифференциальные уравнения 2-го порядка :

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1. 

2. где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении. В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

32) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами(положительный дискриминант) :

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характерное уравнение, есть сделать замену y=k с соответствующими степенями ,

:

Обшее решение ОДУ зависит от дискриминанта.

Возможны следующие случаи:

Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.

33) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами(дискриминант равен нулю)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характерное уравнение, есть сделать замену y=k с соответствующими степенями ,

:

Обшее решение ОДУ зависит от дискриминанта.

Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

34) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами(отрицательный дискриминант)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характерное уравнение, есть сделать замену y=k с соответствующими степенями ,

:

Обшее решение ОДУ зависит от дискриминанта.

Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

35) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами(метод вариаций постоянных)

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

36) .    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида  f(x)= P(x)e^ax,  где P(x)- многочлен:

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

В данном случае, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.

37) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида f(x)=e^ax(Acoskx+Bsinkx).   

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

1. где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В данном случае, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.

38) Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.

Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.

Виды матриц :

1)Матрицы С и D имеют размеры 3х3 и 2х2. В том случае, когда количество строк матрицы равняется количеству ее столбцов, матрица называется квадратной.

2) Матрица, которая содержит только одну строчку или один столбец называется вектором. В таких матрицах можно выделить вектор-строка и вектор-столбец.

3) Квадратная матрица, у которой в главной диагонали стоят ненулевые элементы, а все остальные - это нули называется диагональная матрица.

4) Если ненулевые элементы равны только единицам, то это единичная матрица, она всегда обозначается буквой Е. В нашем случае матрица Е - тоже единичная матрица третьего  порядка.

Линейные операции над матрицами :