41. Сформулировать задачу Коши. Привести не менее двух примеров.

Задача, сводящаяся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно приходится прибегать к помощи приближенных методов решения подобной задачи. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений в зависимости от того, ставятся ли дополнительные условия в одной или нескольких точках отрезка изменения независимой переменной, задачи обычно подразделяются на одноточечные - задачи с начальными условиями или задачи Коши, а также на многоступенчатые.

Постановка задачи:

Требуется найти функцию у = у(х), удовлетворяющую уравнению

(1)

и принимающую при х = х₀ заданное значение у₀:

y(x₀)=y₀ (2)

При этом решение необходимо получить в интервале х₀ £ х £ х_к. Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение у(х) задачи Коши (1), (2) существует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть F(x, y) удовлетворяет некоторым условиям гладкости.

Примеры задач Коши:

ПРИМЕР 2:

на отрезке [0, 1] c начальным условием y(x=0) = 1

Примеры постановки задачи Коши:

Примеры краевых задач:

41. Сформулировать отличие частного решения от общего решения. Пример.

Частное решение дифференциального уравнения - решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных. Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

41. Дана задача Коши для ОДУ первого порядка. Определить отрезок [a, b] (с конечными или бесконечными пределами), на котором данная задача Коши имеет единственное решение.

    Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка

 на отрезке   при условии 

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом  , расчетными узлами служат точки   промежутка [x₀, x_n].

Целью является построение таблицы

xi	x0	x1	…	xn
yi	y0	y1	…	yn

т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке  , получим

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой–либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

,

то получим явную формулу Эйлера:

,  .

Порядок расчетов:

Зная  , находим  , затем   т.д.

41. Дана задача Коши для оду первого порядка. Построить вычислительную формулу для ее решения методом Рунге – Кутта первого порядка.

46. (Сводный вопрос) Каким образом получены вычислительные формулы для методов Рунге – Кутта первого, второго и четвертого порядков точности. Основное соотношение, которое при этом используется.