32. Вычислить значение интеграла при заданных значениях a, b, и количестве узлов интегрирования n с помощью квадратурной формулы Симпсона в matlab.

1. Задаем функцию f(x) = P_n(x) в m-файле функции.

function res=f(x)% Интегрируемая функция

res= Сама функция;

2. Вычислить значение интеграла I аналитически, т.е. найти его точное значение.

% Вычисление точного значение интеграла. Второй способ.

a=0; b=1; % Пределы интегрирования

syms x; % Задание символьной переменной

f=сама функция; % Задание подинтегральной функции

In=int(f) % - неопределённый интеграл,

Io=int(f,a,b) % - определённый интеграл.

format long e % Необходимо для перевода результата из

I=double(Io) % символьного формата в вещественный.

3. Вычислить значение интеграла I по формуле Симпсона.

Здесь h = (b-a)/n

Файл сценария:

a=1; b=1.44;

format short e

h=(b-a)/n;

I5=(h/6)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))- Симпсона

Пример 6.2. Вычисление интеграла методом прямоугольников в пакете MATLAB:

>> f=inline('sin(x)'); % задание подынтегральной функции

>> Xmin=0;

>> Xmax=pi/2;

>> N=2001;

>> i=1:N;

>> dx=(Xmax-Xmin)/(N-1); % шаг интегрирования

>> x=Xmin:dx:Xmax; % вычисление координат узлов сетки

>> y=feval(f,x); % вычисление значений функции в узлах сетки

% вычисление интеграла методом Симпсона

>> s=0;

for i=2:N-1

if i-2*ceil(i/2)==0

k=4;

else

k=2;

end;

s=s+k*y(i);

end;

Fs=(y(1)+s+y(N))*dx/3

Fs =

1.0000

>> Fs-1

ans =

1.5543e-015

40.Аналитически найти теоретическую погрешность при численном вычислении интеграла при заданных значениях a, b, и количестве узлов интегрирования n с помощью квадратурной формулы Симпсона.

Задаем функцию f(x) = P_n(x) в m-файле функции.

function res=f(x)% Интегрируемая функция

res= Сама функция;

2. Вычислить значение интеграла I аналитически, т.е. найти его точное значение.

% Вычисление точного значение интеграла. Второй способ.

a=0; b=1; % Пределы интегрирования

syms x; % Задание символьной переменной

f=сама функция; % Задание подинтегральной функции

In=int(f) % - неопределённый интеграл,

Io=int(f,a,b) % - определённый интеграл.

format long e % Необходимо для перевода результата из

I=double(Io) % символьного формата в вещественный.

3. Вычислить значение интеграла I по формуле Симпсона.

Здесь h = (b-a)/n

Файл сценария:

a=1; b=1.44;

format short e

h=(b-a)/n;

I=(h/6)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b))- Симпсона

4.Определение теоретической погрешности:

Теоретическая оценка погрешности.

Файл сценария:

syms x;

f=сама функция;

f1=diff(f,1);

f2=diff(f,2);

f4=diff(f,4);

a=1;

b=1.44;

x=a:0.001:b;

format short e

m1= первая производная от исходной функции;

m2= вторая производная от исходной функции;

m4= четвертая производная от исходной функции;

M1=max(abs(m1));

M2=max(abs(m2));

M4=max(abs(m4));

h=(b-a)/n;

R=(M4*(b-a)*h^4)/2880 –Симпсона

   при заданных значениях a, b,   и количестве узлов интегрирования n с помощью квадратурной формулы Симпсона.

Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора:

. (6.22)

Тогда интеграл от данной функции на отрезке будет равен

. (6.23)

Так как формула Симпсона основывается на приближении функции параболой, можно ожидать, что в данном случае погрешность по порядку величины будет определяться членами, пропорциональными третьей производной функции. Однако последовательное повторение действий, выполненных при оценке погрешности метода трапеций, показывает, что эти члены сокращаются в силу их симметричности, поэтому в разложении в ряд Тейлора следует удержать член, пропорциональный . Следовательно, погрешность формулы Симпсона на отрезке пропорциональна , а полная погрешность на отрезке по порядку величины составляет .

41. Оценка погрешности численного интегрирования по правилу Рунге. В каких случаях используется правило Рунге. Чем правило Рунге отличается от других способов оценки погрешности численного интегрирования?

В формулах для оценки погрешности квадратурных формул R используются значения производных подынтегральной функции, что требует дополнительного анализа и вычислений. В связи с этим получило распространение практическое правило Рунге оценки погрешности. Пусть : I – точное значение интеграла, I(n) – значение интеграла вычисленное при n узлах интегрирования h = (b-a)/n, I(2n) – значение интеграла вычисленное при 2*n узлах интегрирования, h = (b-a)/2n. Необходимо определить, с какой точностью вычислен итеграл I(2n), т.е. найти абсолютную погрешность Для непосредственно определения данной погрешности необходимо найти максимум модуля соответствующей производной от интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Часто это достаточно трудоемкий или вообще невозможный процесс. Например если интегрируемая функция задана таблично. В таких случаях оценку погрешности величины I(2n) можно провести следующим образом: Здесь m = 3 для методов средних прямоугольников и трапеций, m = 15 для метода Симпсона.Если решается задача численного вычисления интеграла с заданной точностью, процесс удвоения числа узлов интегрирования продолжается до тех пор, пока величина не станет меньше заданной погрешности. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка решение задачи Коши для ДУ в пакете MATLAB реализован в виде функции ode45. Данный метод рекомендуется использовать при первой попытке нахождения численного решения задачи.