10. Теорема умножения вероятностей
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:
.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.
P(AB)=P(B)
(A)=P(A)
(B)
– при условии, что B
или A
произошло.
11. Зависимые и независимые события.
События А и В называются независимыми, если появление одного из них появления другого. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:
= Р(А);
=
Р(В).
Для проверки двух событий на
зависимость вычисляют искомую и условную
вероятности и сравнивают их.
12. Формула полной вероятности.
Если
событие А может появиться только при
одной из данных гипотез (
),
то вероятность события А вычисляется
по формуле
полной вероятности:
,где
– условная вероятность события А при
гипотезе
.
Сумма P( )=1
- полная группа
13. Формула Байеса.
A
– произошло. P
(
)
Если
до опыта вероятности гипотез были равны
,
,
…
,
а в результате опыта появилось событие
А, то с учетом этого события «новые»,
т.е. условные, вероятности гипотез
вычисляются по формуле Байеса:
Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом известности результата опыта.
14. Схема испытаний Бернулли.
Событие А в серии происходит k раз.
Серия однотипных испытаний, в каждом из кот. событие А может появиться с фиксированной вероятностью p.
Если
производится n независимых опытов в
одинаковых условиях, причем в каждом
из них с постоянной вероятностью р
появляется событие А, то вероятность
(m) того, что событие А произойдет в
этих n опытах ровно m раз, выражается
формулой
Бернулли:
где
q
= (1 – р) есть вероятность непоявления
события А. Эта формула выражает, так
называемое биноминальное распределение
вероятностей, причем
15.
Определение дискретной случайной
величины и способы ее задания.
Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.
Способы задания:
1. Таблица
2. Графический метод (многоугольник распред., пр: схема испытаний Бернулли, биномиальное распределение)
3. F(x)
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически. Пример:Тестовые вопросы, вероятность правильно ответить.