Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом   и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ;

2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ;

3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор  должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения   равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где   - орт векторного произведения.

11

Для описания положения точки  P  на плоскости можно использовать полярные координаты  r  и  φ, где  r – расстояние от точки  P  до начала координат, называемогополюсом;  φ – угол, образованный лучом 0 P с положительным направлением полярной оси. При этом величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, а отрицатательная величина угла соответствует отсчету по часовой стрелке. Для числа  z = 0  полярный угол не определен.        Рассмотрим комплексную плоскость x0y. В качестве полярной оси выберем ось 0x; при этом начало прямоугольной системы координат играет роль полюса полярной системы координат.

  Рис. 1. Декартовы и полярные координаты точки плоскости.

      Тогда полярные координаты   связаны с декартовыми прямоугольными координатами (x,y) следующими соотношениями:

		(1)
		(2)
	,	(3)
	,	(4)
		(5)
	или        .	(6)

      Координатными линиями в полярной системе координат являются концентрические окружности   и лучи  . Пересечение двух таких линий определяет единственную точку плоскости.

13

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ (законы Ньютона), три закона, открытые Исааком Ньютоном и описанные в его книге «Математические начала натуральной философии» (1687). Они являются основой классических теорий движения и силы. По первому закону, тело, находящееся в состоянии покоя, стремится оставаться в состоянии покоя до тех пор, пока на него не подействует внешняя сила, а тело, находящееся в движении, стремится оставаться в движении с той же скоростью и направлением до тех пор, пока на него не подействует внешняя сила. Это свойство известно как ИНЕРЦИЯ. Второй закон гласит, что изменение скорости, или УСКОРЕНИЕ, тела в результате воздействия силы прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела, а направление ускорения совпадает с направлением силы; если ускорение равно а, сила равна F, масса равна т, то a = F/m. Потретьему закону, каждому действию всегда соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Первый закон Ньютона описывает инерционные эффекты (А), Объект сопротивляется выведению его из состояния покоя, наклоняясь назад (1), хотя двигаясь равномерно, он находится в ровном положении, как при состоянии покоя (2) Когда его останавливают, он сопротивляется замедлению и стремится продолжать движение

14

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r²,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

15

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

16

Форма параболы. Уравнение параболы. Парабола однозначно определяется своим фокусом F и директрисой f. Перпендикуляр x≡ FD, опущенный из фокуса на директрису, называют осью параболы, а расстояние p от фокуса до директрисы - ее параметром (см. Рис. 1).

Из определения параболы как геометрического места точек, равноудаленных от F и f, следует, что парабола симметрична относительно своей оси, причем ось x имеет с параболой лишь одну общую точку O - середину отрезка FD. Точка O называетсявершиной параболы.

     Проведем через точку O прямую y, перпендикулярную к оси x.

     

17

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

О бозначим фокусы через F₁ и F₂ расстояние между ними через 2с, а модуль разности расстоя­ний от каждой точки гиперболы до фокусов через 2a. По определению 2a < 2с, т. е. a < c.

Для вывода уравнения гиперболы выберем си­стему координат   так, чтобы фокусы F₁ и F₂  лежали на оси  , а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂ (см. рис. 53). Тогда фокусы будут иметь координаты   и 

Пусть   — произвольная точка гиперболы. Тогда согласно опре­делению гиперболы  или  , т.е. . После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, получимканоническое уравнение гиперболы

                         (11.9)

18

Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров — ни длины, ни ширины, ни высоты.

Плоскость бесконечна..

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются. Примеры в окружающем пространстве найти легко.

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

19

Произво́дная Фреше́ (сильная производная) — обобщение понятия производной на бесконечномерные банаховы пространства. Название дано в честь французского математика Мориса Фреше.

Определение [править]

Пусть   — оператор, действующий из некоторого вещественного банахова пространства   в вещественное банахово пространство  .

Производной Фреше оператора   в точке   называется линейный оператор  , такой, что для любого   выполняется следующее равенство:

причем для остаточного члена   верно соотношение:

 при 

Если производная Фреше существует, то оператор   называется сильно дифференцируемым. Линейная часть приращения   в таком случае именуетсядифференциалом Фреше функции  .