1

Комплексным числом z называется пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида

z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число

z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел  , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ -y₂).

Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что  . Отсюда находим

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда  , т. е. i² = -1. Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число   называетсясопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

2

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy -мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом |z|.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на  , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем   называем главным значениемаргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r(cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z₁ = (r₁ cos θ₁, r₁ sin θ₁), z₂ = (r₂ cos θ₂, r₂ sin θ₂), то

z₁z₂ = (r₁r₂ cos(θ₁ + θ₂), r₁r₂ sin(θ₁ + θ₂)),

3

Действия с комплексными числами, заданных в тригонометрической форме

Запись комплексного числа z = a + bi в виде z=r cos +isin   называется тригонометрической формой комплексного числа. Модуль комплексного числа: r= a2+b2  Аргумент комплексного числа:cos =ra sin =rb

 

Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1   и z2=r2 cos 2+isin 2   будет комплексное число вида z1 z2=r1 r2 cos( 1+ 2)+isin( 1+ 2)  

Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=r1 cos 1+isin 1   и z2=r2 cos 2+isin 2  будет комплексное число вида z2z1=r2r1 cos( 1− 2)+isin( 1− 2)  

Свойство возведение в степень: Степень комплексного числа z=r cos +isin   будет комплексное число вида  r cos +isin n=rn cosn +isinn  

Свойство извлечения корня: Корень из комплексного числа z=r cos +isin   будет комплексное число вида  nr cos +isin = nr cosn +2 k+isinn +2 k k=0;1;2; ;n−1 

Формула Муавра :  cos +isin n=cosn +isinn  

8

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.  Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….  Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца.  Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, a_ij = b_ij для любых i=1,2,…m; j=1,2,…n, виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)- строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом: Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…,a_nn. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Операции над матрицами Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые - специфические. 1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число  называется матрица B= A, элементы которой b_ij= a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица. 2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m  называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно). 3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.

9

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.РАНГ МАТРИЦЫ. Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Матрица  называется обратной матрицей для квадратной матрицы  , если  .       Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A^-1 и удовлетворяющая условию  . Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Из определения обратной матрицы следует, что матрица  является обратной для матрицы  , то есть  . Про матрицы  и  можно говорить, что они обратные друг другу или взаимно обратны.  Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно: 1.Найти определитель матрицы A. 2.Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа Aij. 3.Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на   – это и будет Свойства обратной матрицы

• , где det обозначает определитель.

• для любых двух обратимых матриц A и B.

• где * обозначает транспонированную матрицу.

• для любого коэффициента   .

Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если существует, то x = b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе. Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от

10