4.6. Анализ чувствительности модели лп

Мы рассмотрели графическое представление моделей ЛП и их решений, при этом наглядно показали, насколько важны крайние точки допустимой области при оптимиза­ции линейных моделей. Теперь нас интересует вопрос, насколько чувствительно опти­мальное решение к небольшим изменениям исходных данных. Допустим, мы ©ценили среднее значение некоторого параметра модели и нашли решение, используя данную оценку. Что произойдет с оптимальным решением, если оценка изменится на 5%, 10%, 15% или больше? Решение и оптимальное значение целевой функции будут меняться в широком диапазоне или останутся более-менее постоянными? Как следует из приме-

ров анализа чувствительности в главе 2, ответ на эти вопросы определяет достоверность рекомендаций, сформулированных на основе модели. Если оптимальное значение целе­вой функции изменяется незначительно при достаточно больших изменениях значения определенного параметра, можно не беспокоиться из-за неопределенности данного па­раметра. Если же оптимальное значение целевой функции меняется заметно даже при незначительных изменениях параметра, нельзя допускать высокого уровня неопределен­ности в его значении. В таком случае, возможно, стоит затратить больше усилий на опре­деление более точного значения этого параметра.

Хотя некоторые последующие рассуждения будут неформальными, в нашем распо­ряжении есть также строгие и точные методы. Эти методы относятся к области анализа чувствительности оптимального решения. Данная тема настолько важна, что оставшаяся часть этой главы будет посвяшена обсуждению информации, содержащейся в отчете по-устойчивости, предлагаемом средством Поиск решения. Графический подход позволит показать, как изменения модели влияют на решение в двухмерном пространстве, а это, в свою очередь, поможет понять изменения, которые возникнут в реальных моделях большего размера.

Важно отметить: анализ чувствительности основан на предположении, что значения всех параметров модели, за исключением одного, остаются неизменными. Нас интересует степень воздействия значений этого параметра, во-первых, на оптимальное значение целевой функции и, во-вторых, на оптимальное решение, т.е. значения переменных решения. Математически анализ чувствительности сводится к нахождению частных производных, когда все переменные, кроме одной, остаются постоянными. В эконо­мике анализ чувствительности носит название анализа по предельным показателям или маргинального анализа.

Чтобы показать, как проводится анализ чувствительности, обратимся вновь к упро­шенной модели ЛП Oak Products, представленной соотношениями (4.1)—(4.8). Цель дан­ной модели — рекомендовать производственный план на предстоящий временной пери­од. Большинство прикладных моделей ЛП содержит подобные модели планирования, в которых требуется определить будущие планы и политику. Естественно, таким моделям необходимы данные, которые точно будут известны только в будущем. В реальных ситуа­циях эти данные на момент моделирования зачастую невозможно знать с абсолютной точностью. Например, значения удельного дохода в расчете на единицу продукции (S56 для стульев Captain и $40 для стульев Mate) являются только оценками, основанными на ценах продажи и предполагаемых переменных затратах, которые могут измениться в бу­дущем. Поэтому мы вынуждены использовать текущие оценки параметров модели, отда­вая себе отчет, что будущие реальные значения этих параметров наверняка будут отли­чаться от используемых в модели. Но у нас могут быть достаточно веские соображения относительно возможных диапазонов, в которых будут находиться истинные значения этих параметров. Например, $56 и S40 — наилучшие оценки середин этих диапазонов для значений удельной прибыли.

Еще один источник неопределенности содержится в ограничениях— чаще всего пло­хо определены правые части ограничений. Например, правая часть ограничения (начальный запас) для длинных штифтов равна 1280. В реальных приложениях это число может оказаться не соответствующим действительности, поскольку действительный на­чальный запас длинных штифтов может быть иным по многим причинам. Таким обра­зом, значение 1280 — всего лишь наилучшая оценка для правой части ограничения. По­этому необходимо учитывать неопределенность в таких данных.

Последний источник неопределенности— коэффициенты функций ограничений, т.е. коэффициенты при переменных решения в левых частях неравенств. Поскольку эти коэффициенты связывают переменные решения с ограничениями технологических ре­сурсов (определяются правыми частями неравенств), их часто называют технологически­ми коэффициентами. В модели Oak Products нет неопределенности при задании техно­логических коэффициентов, поскольку, например, для изготовления стула Captain не может понадобиться больше четырех ножек. Однако в других моделях ЛП возникновение неопределенности в технических коэффициентах вполне вероятно. Например, новое ог­раничение для модели Oak Products может связывать время сборки и отделки одного сту­ла с общим ресурсом рабочего времени. В этом случае качество древесины или произво­дительность труда могут внести неопределенность в коэффициент, отражающий гремя сборки и отделки стульев.

В приведенных ниже примерах первый иллюстрирует изменения коэффициентов целе­вой функции, второй показывает изменения правых частей, ограничений, а третий — измене­ния технологических коэффициентов модели. В главе 1 мы называли коэффициенты целе­вой функции, правые части ограничений и технологические коэффициенты параметра­ми модели, поэтому иногда исследование воздействия изменений этих величин называют параметрическим анализом. Посмотрим, какую информацию о воздействии изменений первого типа может предоставить нам графический анализ и отчет по устойчивости сред­ства Поиск решения; изменения третьего типа будут исследоваться в разделе 4.9.