I Множество всех значений переменных решения, удовлетворяющих одновременно всем ог­раничениям, называется допустимым множеством ограничений или допустимой областью.

Можно поэкспериментировать, перетаскивая любую линию ограничения, чтобы уви­деть, как изменения правой части данного ограничения отразятся на допустимой облас­ти. Если сравнить визуально рис. 4.2 и рис. 4.3, становится очевидным следующий об­щий принцип моделей оптимизации.

Добавление дополнительных ограничений никоим образом не может привести к увели­чению допустимой области, а может лишь уменьшить ее или оставить неизменной. Удаление ограничений оставляет допустимую область неизменной или приводит к ее \ расширению.

Теперь воспользуемся графиком, чтобы найти оптимальное решение упрощенной модели Oak Products. Поскольку данная задача линейного программирования является задачей мак­симизации прибыли, необходимо найти такой допустимый план производства, который обес­печивает наибольшее возможное значение целевой функции, заданной выражением (4.1).

Согласно определению допустимой области любой производственный план (пара значений С и М), удовлетворяющий всем ограничениям, называется допустимым решени­ем. Эти допустимые решения и являются возможными производственными альтернати­вами нашей модели. Заметим, что некорректно говорить о допустимых значениях пере­менной С или переменной М в отдельности — в данном двухмерном случае понятие до­пустимости всегда применяется к паре значений, а не к отдельному значению.

На рис. 4.3 пунктирной линией в левом нижнем углу над стрелкой курсора показана прямая, соответствующая целевой функции (4.J) (на графике она обозначена как Payoff, т.е. выигрыш). Эта пунктирная линия соответствует множеству всех пар значений произ-

водственных решений С и М, которые дают прибыль, в точности равную $2000. Поэтому данная линия называется изолинией прибыли S2000. Угол наклона этой прямой определя­ется отношением коэффициентов при переменных в выражении (4.1), в чем можно убе­диться, решив уравнение 56С + 40М = 2000 для М: М = 50 — 1,4С.

Таким образом, наклон линии выигрыша фиксирован и равен —1,4, а изменения зна­чения прибыли влияют только на координаты точки пересечения этой линии с ось о Y. Поскольку компания Oak Products хочет получить максимальную прибыль, это можно сделать, перетаскивая с помощью мыши линию выигрыша. После нескольких секунд экспериментов легко убедиться, что оптимизирующим направлением является северо-восток, поскольку в этом случае увеличивается прибыль, однако необходимо ограничить свои аппетиты допустимыми значениями С и М, т.е. точками, находящимися внутри се­рой области. Поскольку угол наклона линии выигрыша фиксирован, множество допус­тимых точек, максимизирующих прибыль, будет состоять из единственной точки, лежа­щей в направлении увеличения значений целевой функции, определяемой в данном случае пересечением ограничений для длинных штифтов и ножек (рис. 4.4).

Совет. При перемещении линии выигрыша программа GPL постоянно пересчитывает значе­ния прибыли. Чтобы быстро найти максимальное значение, достаточно просто щелкнуть на кнопке Auto Max (Автомаксимум) панели инструментов диалогового окна GLP (это кнопка, на которой изображена стрелка, направленная вверх). Затем можно, как показано на рис. 4.4, подвинуть само уравнение выигрыша поближе к окончательному положению пунк­тирной линии и щелкнуть на кнопке Scissors (Ножницы) диалогового окна GLP, чтобы уб­рать лишние отрезки линий ограничений.

В данной модели ЛП только одна точка допустимой области лежит на изолинии мак­симальной прибыли, поэтому она называется единственным оптимальным решением зада­чи. На рис. 4.4 видно, что значение, соответствующее изолинии максимальной прибыли (максимально возможная прибыль), равно $9680, что совпадает со значением, получен­ным средством Поиск решения при оптимизации этой модели в главе 3.

С помощью нехитрых алгебраических приемов легко понять, откуда взялось это зна­чение. Сообщение в правом нижнем углу на рис. 4.4 свидетельствует, что оптимальное значение С равно 130, а оптимальное значение М — 60. На рисунке также показано, что оптимальное решение находится на пересечении двух линий ограничений, каждое из ко­торых является в данном случае лимитирующим.

Таким образом, имеется система двух линейных уравнений, которую можно решить алгебраически (например, методом подстановки) и найти значения неизвестных С и М. Выразим М из уравнения (4.10): М = 190 - С. Подставим данное выражение в (4.9) и по­сле преобразований получим С = 130. Теперь можно подставить это значение С в любое из исходных уравнений и определить, что М=60. Это и есть решение уравнений (4.9) и (4.10) относительно неизвестных С и М; именно так поступает программа GLP (и сред­ство Поиск решения) для нахождения оптимальных значений переменных решения.

Обозначим оптимальные значения переменных решения как С и М. Мы нашли опти­мальный производственный план С' = 130 и М = 60. Это оптимальное решение, или просто решение задачи Oak Products. Используя оптимальные значения, легко вычислить макси­мальное значение прибыли (так же, как это делают программы GLP и Поиск решения):

Это значение называется оптимальным значением целевой функции, или просто опти­мальным значением. Термин решение {оптимальное решение) всегда относится к оптималь­ным значениям переменных решения. Термином оптимальное значение (в единственном числе) обозначается значение целевой функции, вычисленное в точке решения. В модели Oak Products решением является оптимальный производственный план

а оптимальная прибыль $9680 является оптимальным значением. Теперь дадим более четкие определения этих важнейших терминов и сделаем несколько заключений о решениях моделей линейного программирования общего вида.

Оптимальное решение любой модели ЛП не может находиться во внутренней точке до­пустимой области. Геометрически лимитирующее ограничение — это ограничение, на линии которого рас-

J положено оптимальное решение.

Геометрически нелимитирующее ограничение — это ограничение, на линии которого нет оптимального решения. Добавление ограничений приведет к ухудшению оптимального значения или оставит

| его неизменным.

Удаление ограничений приведет к улучшению оптимального значения или оставит его неизменным.

Введение дополнительных переменных решения улучшит оптимальное значение или оставит его неизменным.

Исключение переменных решения ухудшит оптимальное значение или оставит его не­изменным.