4.13. Вырождение моделей лп

Для оптимизации моделей линейного программирования средство Поиск решения использует симплекс-метод, разработанный для решения моделей, содержащих только ограничения в форме равенств. Для приведения модели ЛП, содержащей ограничения-неравенства, к нужному виду в модель вводятся новые внутренние переменные, назы­ваемые переменными резерва и излишка. В качестве примера рассмотрим упрощенную мо­дель Oak Products из главы 3.

Максимизировать i

при ограничениях

где С— количество произведенных и проданных стульев Captain, M — количество произ­веденных и проданных стульев Mate.

В этой модели ЛП две переменные решения и шесть ограничений (не считая ограни­чения неотрицательности), одно из них вида > и пять — вида <. Чтобы преобразовать данную модель в модель, все ограничения которой имеют форму равенств, программа Поиск решения прибавит переменные резерва к первому, второму, четвертому, пятому и шестому ограничениям (ограничениям вида <) и вычтет переменную излишка из третьего ограничения (ограничения вида >). Обозначим шесть новых переменных s1, s2, s3, s4, s5 и s6. Тогда модель, оптимизируемая программой Поиск решения, будет выглядеть так:

максимизировать

при ограничениях

Отметим, что добавленные ограничения неотрицательности для новых переменных за­ставляют их принимать только нулевые или положительные значения. Таким образом, пе­ременные резерва (излишка) представляют дополнительные количества, которые необхо­димо прибавить (вычесть) к левым частям, чтобы превратить неравенства в равенства.

Итак, мы показали следующее.

Любое ограничение вида <= можно преобразовать в равенство, добавив к его клевой час-(ти новую неотрицательную переменную резерва.

\ Любое ограничение вида > можно преобразовать в равенство, вычтя из его левой части i ; новую неотрицательную переменную излишка.

Внутреннее представление модели по-прежнему содержит шесть ограничений, одна­ко введение переменных резерва и излишка привело к увеличению числа переменных решения до восьми вместо двух. Заметим, что переменные резерва и излишка не входят явным образом в целевую функцию, рассматриваемую программой Поиск решения. Но можно считать, что новые переменные включены в целевую функцию с нулевыми коэф­фициентами.

Оптимальные значения переменных резерва и излишка

В разделе 4.2 графическим методом было показано, что оптимальным решением зада­чи (4.11) является С = 130 и М' = 60. Это означает, что оптимальные значения новых пе­ременных в модели (4.12) с ограничениями-равенствами будут такими:

Вспомним, что ограничение, для которого в точке оптимальности левая часть нера­венства равна правой, называется лимитирующим. Для упрошенной модели ЛП Oak Products связывающими ограничениями являются первое и четвертое. Приведенные вы­ше вычисления показывают, что соответствующие им переменные резерва S1" и S4' равны нулю. Остальные ограничения нелимитирующие и их переменные резерва/излишка яв­ляются положительными. Можно обобщить данное наблюдение.

Лимитирующие ограничения — такие ограничения, для которых оптимальные значе­ния переменных резерва или излишка равны нулю.

Нелимитирующие ограничения— такие ограничения, для которых оптимальные зна­чения переменных резерва или излишка являются положительными.

В частности, если в точке оптимальности некое ограничение имеет нулевое значение переменной резерва или излишка, это означает, что решение задачи лежит на прямой данного ограничения. С геометрической точки зрения можно также обнаружить свойст­во, важное для правильной интерпретации отчета по устойчивости программы Поиск решения. Это свойство касается числа положительных переменных в любой угловой точке (и, в частности, в оптимальной угловой точке) множества ограничений. Все пере­менные (переменные решение и переменные резерва и излишка) должны принимать не­отрицательные значения. Покажем, что в любой угловой точке множества ограничений (и, в частности, в оптимальной угловой точке) максимальное количество положительных переменных среди всех переменных решения, резерва и излишка не превышает число ог­раничений модели (не учитывая ограничения неотрицательности).

Проиллюстрируем это свойство на следующей модели.

Максимизировать

при ограничениях

Множество ограничений данной модели изображено на рис. 4.31, линии ограничений снабжены метками от (1) до (4) в соответствии с номерами ограничений в модели (4.13).