4.2. Метод наименьших квадратов
Пусть ожидаемая зависимость экспериментально определяемой величины
имеет
вид прямой
(10)
В частности, это может быть "линеаризованная" зависимость. Экспериментальные точки Yk Xk , k = 1, 2,...n, как правило, не лежат на одной прямой, а "разбросаны" в некоторой полосе значений. Возникает задача провести через такие точки оптимальную прямую линию и определить погрешность её параметров. Эту задачу можно решить при помощи метода наименьших квадратов.
Провести прямую, удовлетворяющую уравнению (10), означает найти параметры a и b по заданным (экспериментально определенным) парам точек Yk Xk .
Возьмем случай, когда погрешность измерения аргумента ∆X много меньше, чем для самой функции ∆Y. В этом случае наилучшая прямая должна удовлетворять следующим условиям:
1) прямая должна проходить через "центр тяжести" экспериментальных точек, определяемый как точка с координатами
;
(11)
2) сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от прямой должна быть минимальной
(12)
В теории ошибок доказывается, что этим условиям удовлетворяет прямая со следующими параметрами:
; 
, (13)
где
; 
. (14)
Погрешности
определения параметров прямой
– погрешность
функции Y
(полоса
ошибок). - определяется по формуле (4.8):
. (15)
Список литературы
Князев Б. А., Черкасский В. С. Начала обработки экспериментальных
данных. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.
Кунце Х.-И. Методы физических измерений. М.: Мир, 1989.
Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985.